뒤발 특이점

대수기하학에서 뒤발 특이점(영어: du Val singularity) 또는 클라인 특이점(영어: Kleinian singularity)은 복소 대수 곡면의 특이점의 한 종류다. 이들은 최소분해(영어: minimal resolution)가 존재하며, 이는 ADE형의 딘킨 도표로 분류된다.

역사

영국의 패트릭 뒤발(영어: Patrick du Val)^[1]과 독일의 펠릭스 클라인의 이름을 땄다. 뒤발은 1934년에 이 특이점들을 연구하였다.^[2][3][4]

분류

뒤발 특이점은 ADE형의 딘킨 도표에 의하여 분류된다.

뒤발 특이점은 다음과 같은 꼴이다. 여기서 ${\displaystyle w,x,y\in \mathbb {C} }$는 복소 변수이며, 이들은 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ 속에 복소 2차원 아핀 대수다양체를 이룬다. 이 대수 곡면들은 ${\displaystyle w=x=y=0}$에 특이점을 가진다.

• A_n: ${\displaystyle w^{2}+x^{2}+y^{n+1}=0}$
• D_n: ${\displaystyle w^{2}+y(x^{2}+y^{n-2})=0}$ (n≥4)
• E₆: ${\displaystyle w^{2}+x^{3}+y^{4}=0}$
• E₇: ${\displaystyle w^{2}+x(x^{2}+y^{3})=0}$
• E₈: ${\displaystyle w^{2}+x^{3}+y^{5}=0.}$

이들은 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$를 ${\displaystyle SL(2;\mathbb {C} )}$의 유한 부분군의 작용으로 몫공간을 취한 것으로 볼 수 있다. ${\displaystyle SL(2;\mathbb {C} )}$ (또는 ${\displaystyle SU(2)}$)의 부분군들은 이진다면체군(영어: binary polyhedral group)이라고 불리며, 이들에 대한 ADE 분류가 존재한다. (이를 매케이 대응성(영어: McKay correspondence)이라고 한다.^[5]) 이에 따라, 뒤발 특이점 또한 ADE로 분류된다. 여기서 "이진"이란 SU(2)=Spin(3)는 SO(3)의 이중피복군이므로, 이진다면체군은 SO(3)의 부분군(다면체군)의 이중피복에 해당하기 때문이다. 이들은 (SO(3)의 부분공간으로서) 다음과 같다.

ADE 분류	SO(3) 부분군
An	n+1차 순환군 ${\displaystyle Z_{n+1}}$
Dn	2n차 정이면체군 ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}}$
E6	정사면체군 (정사면체의 대칭군)
E7	정팔면체군 (정육면체와 정팔면체의 대칭군)
E8	정이십면체군 (정십이면체와 정이십면체의 대칭군)

구체적으로, 표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 뒤발 특이점을 갖는 아핀 대수다양체

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} {\frac {K[w,x,y]}{(p)}}}$

를 생각하자. 이는 원점 ${\displaystyle (x,y,z)}$에서 특이점을 갖는다. 이를 해소하기 위하여 특이점에서 부풀리기를 취할 수 있다. 이 경우, 일반적으로 여러 번 부풀리기를 취해야만 한다. 부풀리기를 하여 얻은 유리 곡선들은 항상 자기 교차수 −2를 가지며, 이들은 물론 서로 교차수를 갖게 된다. 이 교차수들은 항상 0 또는 1이다. 이 경우, 다음과 같은 유한 그래프 ${\displaystyle \Gamma }$를 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle \Gamma }$의 각 꼭짓점은 예외 인자(자기 교차수 −2의 유리 곡선)이다.
• ${\displaystyle \Gamma }$의 서로 다른 두 꼭짓점 사이에 변이 있을 필요 충분 조건은 이에 대응하는 예외 인자가 교차하는 (교차수가 1인) 것이다.

그렇다면 ${\displaystyle \Gamma }$는 ADE형의 딘킨 도표이다.

응용

끈 이론에서는 축소화하는 3차원 복소 다양체에 따라 4차원 물리가 결정된다. 이 3차원 복소 다양체는 오비폴드 꼴의 특이점을 가질 수 있는데, 이는 국소적으로 뒤발 특이점이다. 뒤발 특이점의 딘킨 도표는 4차원 물리의 화살집 도형과 같다. 이는 D-막이 특이점에 감겨 있기 때문이다. D-막의 배열은 뒤발 특이점의 부풀리기의 꼴과 같다.^[6] 이는 프레디 카차소(스페인어: Freddy Alexander Cachazo)와 셸던 카츠(영어: Sheldon Katz), 캄란 바파가 2001년에 발견하였다.^[7]

각주

1. O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2010년 2월). “Patrick Du Val”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교. 
2. du Val, Patrick (1934년 10월). “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part I)”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 453–459,. doi:10.1017/S030500410001269X. ISSN 0305-0041. Zbl 0010.17602. 
3. du Val, Patrick (1934년 10월). “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part II)”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 460–465. doi:10.1017/S0305004100012706. ISSN 0305-0041. Zbl 0010.17603. 
4. du Val, Patrick (1934년 10월). “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part III)”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 483–491. doi:10.1017/S030500410001272X. ISSN 0305-0041. Zbl 0010.17701. 
5. McKay, John (1980). 〈Graphs, singularities, and finite groups〉. 《Proceedings of 1979 Santa Cruz group theory conference》. AMS Symposia in Pure Mathematics (영어) 37. 183–186쪽. ISBN 0-8218-1440-0. MR 0604577. Zbl 0451.05026. 
6. He, Yang-Hui (2004). “Lectures on D-branes, gauge theories and Calabi-Yau singularities” (영어). arXiv:hep-th/0408142. Bibcode:2004hep.th....8142H. 
7. Cachazo, Freddy; Sheldon Katz, Cumrun Vafa (2001). “Geometric transitions and 𝒩=1 quiver theories” (영어). arXiv:hep-th/0108120. Bibcode:2001hep.th....8120C.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

• Artin, Michael (1966). “On isolated rational singularities of surfaces”. 《American Journal of Mathematics》 88 (1): 129–136. doi:10.2307/2373050. ISSN 0002-9327. JSTOR 2373050. MR 0199191. Zbl 0142.18602. 
• Barth, Wolf P.; Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven (2004). 《Compact Complex Surfaces》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Springer. ISBN 978-3-540-00832-3. MR 2030225.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Durfee, Alan H. (1979). “Fifteen characterizations of rational double points and simple critical points”. 《L’Enseignement Mathématique》 25 (1–2): 131–163. doi:10.5169/seals-50375. ISSN 0013-8584. MR 543555. Zbl 0418.14020. 
• Reid, Miles. “The du Val singularities A_n, D_n, E₆, E₇, E₈” (PDF). 
• Burban, Igor. “Du Val Singularities” (PDF). 2012년 2월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 4월 16일에 확인함.