CAT(κ) 공간

기하학에서 CAT(κ) 공간(-空間, 영어: CAT(κ) space)은 단면 곡률이 어디서나 ${\displaystyle \kappa }$ 이하인 거리 공간이다.

정의

임의의 실수 ${\displaystyle \kappa \in \mathbb {R} }$에 대하여, ${\displaystyle \Sigma _{\kappa }}$가 단면 곡률이 ${\displaystyle \kappa }$인 2차원 연결 단일 연결 공간 형식이라고 하자. 즉, ${\displaystyle \kappa >0}$일 경우 이는 구, ${\displaystyle \kappa =0}$일 경우는 유클리드 평면, ${\displaystyle \kappa <0}$일 경우는 쌍곡 평면이다. 이 공간 형식의 지름은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {diam} \Sigma _{\kappa }={\begin{cases}\pi /{\sqrt {\kappa }}&\kappa >0\\\infty &\kappa \leq 0\end{cases}}}$

측지선 거리 공간(영어: geodesic metric space) ${\displaystyle (X,d)}$은 다음 조건을 만족시키는 길이 거리 공간이다.

• 임의의 두 점 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, 두 점을 잇는 측지선 ${\displaystyle \gamma }$가 존재한다.

  ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$

  ${\displaystyle \gamma (0)=x}$

  ${\displaystyle \gamma (1)=y}$

  ${\displaystyle d(\gamma (s),\gamma (t))=|t-s|\qquad (s,t\in [0,1])}$

두 점 ${\displaystyle x,y\in X}$를 잇는 측지선을 ${\displaystyle \gamma _{xy}\colon [0,1]\to X}$로 표기하자.

측지선 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 속의 세 점 ${\displaystyle x,y,z\in X}$에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 ${\displaystyle x',y',z'\in \Sigma _{\kappa }}$가 존재한다면, 삼각형 ${\displaystyle \triangle xyz}$가 ${\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )}$ 부등식을 만족시킨다고 한다.

• ${\displaystyle d(x,y)=d(x',y')}$, ${\displaystyle d(y,z)=d(y',z')}$, ${\displaystyle d(z,x)=d(z',x')}$
• ${\displaystyle \triangle xyz}$ 위의 두 점 사이의 거리는 ${\displaystyle \triangle x'y'z'}$ 위의 대응하는 하는 두 점 사이의 거리보다 같거나 짧다. 즉, 다음이 성립한다.
  • 임의의 ${\displaystyle s,t\in [0,1]}$에 대하여, ${\displaystyle d(\gamma _{xy}(s),\gamma _{yz}(t))\leq d(\gamma _{x'y'}(s),\gamma _{y'z'}(t))}$
  • 임의의 ${\displaystyle s,t\in [0,1]}$에 대하여, ${\displaystyle d(\gamma _{yz}(s),\gamma _{zx}(t))\leq d(\gamma _{y'z'}(s),\gamma _{z'x'}(t))}$
  • 임의의 ${\displaystyle s,t\in [0,1]}$에 대하여, ${\displaystyle d(\gamma _{zx}(s),\gamma _{xy}(t))\leq d(\gamma _{z'x'}(s),\gamma _{x'y'}(t))}$

측지선 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 속의 임의의 세 점 ${\displaystyle x,y,z\in X}$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )}$ 부등식이 성립한다면, ${\displaystyle (X,d)}$를 ${\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )}$ 공간이라고 한다.

완비 ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$ 공간을 아다마르 공간(영어: Hadamard space)이라고 한다.

성질

임의의 ${\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )}$ 공간은 ${\displaystyle \operatorname {CAT} (\lambda )}$ 공간이다 (${\displaystyle \lambda >\kappa }$). 만약 거리 공간 ${\displaystyle X}$가 모든 ${\displaystyle \lambda >\kappa }$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {CAT} (\lambda )}$ 공간이라면, ${\displaystyle X}$는 ${\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )}$ 공간이다.

예

모든 (완비일 필요가 없는) 내적 공간은 ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$ 공간이다. 임의의 노름 공간 ${\displaystyle V}$가 어떤 실수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )}$ 공간이라면, ${\displaystyle V}$는 내적 공간이다.

${\displaystyle n}$차원 쌍곡 공간은 ${\displaystyle \operatorname {CAT} (-1)}$ 공간이다.

반지름이 ${\displaystyle r}$인 ${\displaystyle n}$차원 초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$은 ${\displaystyle \operatorname {CAT} (1/r^{2})}$ 공간이다. (이 초구의 길이 거리 공간으로서의 지름은 ${\displaystyle \pi r}$이다.)

역사

CAT(κ) 공간의 개념은 알렉산드르 알렉산드로프가 도입하였다. 알렉산드로프는 이를 원래 "${\displaystyle {\mathfrak {R}}_{\kappa }}$ 영역"으로 명명하였다. 이후 미하일 그로모프가 1987년의 유명한 논문에서 "CAT(κ) 공간"이라는 용어를 도입하였다. 이름에서 "CAT"는 앙리 카르탕(Cartan) · 알렉산드르 알렉산드로프(Александров) · 빅토르 안드레예비치 토포고노프(Топоногов)의 머릿글자를 딴 것이다.

참고 문헌

• Ballmann, Werner (1995). 《Lectures on spaces of nonpositive curvature》. Oberwolfach Seminars (영어) 25. Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-9240-7. ISBN 978-3-7643-5242-4. ISSN 1661-237X. MR 1377265. 
• Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999). 《Metric spaces of non-positive curvature》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 319. Springer. doi:10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 978-3-540-64324-1. MR 1744486. 

외부 링크

• Calegari, Danny (2012년 10월 17일). “Upper curvature bounds and CAT(K)”. 《Geometry and the Imagination》 (영어).