프로이덴탈 마방진

추상대수학에서 프로이덴탈 마방진(Freudenthal魔方陣, 영어: Freudenthal magic square)은 요르단 대수로부터 단순 리 대수를 구성하는 방법이다.^[1][2][3] 특히, 만약 요르단 대수를 실수 · 복소수 · 사원수 · 팔원수의 3×3 에르미트 행렬의 요르단 대수로 잡을 경우, 예외적 단순 리 대수 F₄ · G₂ · E₆ · E₇ · E₈을 대수적으로 구성할 수 있다.

정의

다음 두 데이터가 주어졌다고 하자.

• (항등원 ${\displaystyle 1_{J}\in J}$을 갖는) 유한 차원 실수 요르단 대수 ${\displaystyle (J,\bullet ,1_{J})}$
• ${\displaystyle J}$ 위의 불변 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 ${\displaystyle \langle -,-\rangle \colon J\otimes _{\mathbb {R} }J\to \mathbb {R} }$. 즉, 다음이 성립해야 한다.

  ${\displaystyle \langle A,B\bullet C\rangle =\langle A\bullet B,C\rangle \qquad \forall A,B,C\in J}$

• (항등원 ${\displaystyle 1_{K}\in K}$를 갖는) 실수 합성 대수 ${\displaystyle (K,\cdot ,1_{K})}$. 여기서 내적을 ${\displaystyle \langle 1_{K},1_{K}\rangle =1}$이 되게 규격화한다.

이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(K,J)={\mathfrak {der}}(K;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {der}}(J;\mathbb {R} )\oplus (\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{K}\})^{\perp }\otimes _{\mathbb {R} }(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }}$

여기서

• ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(-;\mathbb {R} )}$는 쌍선형 이항 연산에 대한 미분 리 대수이다.
• ${\displaystyle (-)^{\perp }}$은 내적에 대한 직교 여공간이다.

이 가운데, ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(K;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {der}}(J;\mathbb {R} )}$는 이미 실수 리 대수를 이루며, 이는 ${\displaystyle (\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{K}\})^{\perp }\otimes _{\mathbb {R} }(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }}$ 위의 표준적인 리 대수 표현을 갖는다. 즉, 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}(K,J)}$ 전체가 실수 리 대수를 이루려면, 야코비 항등식을 만족시키는, ${\displaystyle (\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{K}\})^{\perp }\otimes _{\mathbb {R} }(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }}$ 위의 리 괄호가 존재하면 족하다.

이제, 다음과 같은 괄호를 정의하자.

${\displaystyle [a\otimes A,b\otimes B]={\frac {\langle A,B\rangle _{J}}{4\langle 1_{J},1_{J}\rangle _{J}}}{\mathsf {D}}_{a,b}-\langle a,b\rangle _{K}[A\bullet ,B\bullet ]+{\frac {1}{2}}(a\cdot b-b\cdot a)\otimes \operatorname {proj} _{(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }}(A\bullet B)\qquad (a,b\in (\operatorname {Span} \{1_{K}\})^{\perp },\;A,B\in (\operatorname {Span} \{1_{J}\})^{\perp })}$

여기서

• ${\displaystyle (A\bullet )\colon J\to J}$는 ${\displaystyle A}$에 의한 요르단 곱셈이며, 그 교환자는 미분을 이룬다 (${\displaystyle [A\bullet ,B\bullet ]\in {\mathfrak {der}}(J;\mathbb {R} )}$).
• ${\displaystyle {\mathsf {D}}_{a,b}=[a\cdot ,b\cdot ]+[a\cdot ,\cdot b]+[\cdot a,\cdot b]\in {\mathfrak {der}}(K;\mathbb {R} )}$는 ${\displaystyle K}$ 위의 미분이다.

이제, 만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}(K,J)}$는 실수 리 대수를 이룬다.^{[1]:Theorem 3.1}

• ${\displaystyle (K,\cdot )}$가 실수 결합 대수이다.
• ${\displaystyle J}$에서 다음 항등식이 성립한다.

  ${\displaystyle 2\langle 1_{J},1_{J}\rangle \operatorname {proj} _{(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }}\left(A\bullet (A\bullet A)\right)=3\langle A,A\rangle A\qquad \forall A\in (\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }}$

성질

특히, 다음과 같은 특수한 경우가 성립한다.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(\mathbb {R} ,J)={\mathfrak {der}}(J;\mathbb {R} )}$^{[1]:(3.5), Theorem 3.2} (미분 리 대수)

${\displaystyle {\mathfrak {g}}({\tilde {\mathbb {C} }},J)={\mathfrak {con}}_{0}'(J)}$^{[1]:(3.6), Theorem 3.2}

${\displaystyle {\mathfrak {g}}({\tilde {\mathbb {H} }},J)={\mathfrak {con}}(J)}$^{[1]:(3.7), Theorem 3.2}

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(\mathbb {K} ,\operatorname {H} (n;\mathbb {K} '))\cong {\mathfrak {g}}(\mathbb {K} ',\operatorname {H} (n;\mathbb {K} ))\qquad \forall n\geq 2,\;\mathbb {K} ,\mathbb {K} '}$^{:Theorem 6.1}

여기서 ${\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}'(-)}$ 및 ${\displaystyle {\mathfrak {con}}(-)}$은 칸토르-쾨허-티츠 구성을 통해 ${\displaystyle J}$에 대응되는 리 대수들이다.

예

프로이덴탈 마방진을 구성하는 실수 리 대수들은 다음과 같다.

${\displaystyle J}$ ╲ ${\displaystyle K}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {C} }$	${\displaystyle \mathbb {H} }$	${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}}$	${\displaystyle {\tilde {\mathbb {H} }}}$
${\displaystyle \operatorname {H} (n;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n;\mathbb {R} )}$
${\displaystyle \operatorname {H} (n;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)^{\oplus 2}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n,n)}$
${\displaystyle \operatorname {H} (n;\mathbb {H} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(4n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(4n)}$
${\displaystyle \operatorname {H} (n;{\tilde {\mathbb {C} }})}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )^{\oplus 2}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2n;\mathbb {R} )}$
${\displaystyle \operatorname {H} (n;{\tilde {\mathbb {H} }})}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n,n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(4n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2n;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n,2n)}$

여기서

• ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}=\mathbb {R} [\mathrm {i} ]/(\mathrm {i} ^{2}-1)}$은 분할 복소수(영어: split-complex number)의 실수 가환 결합 대수이다.
• ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {H} }}=\mathbb {R} \langle \mathrm {i} ,\mathrm {j} \rangle /(\mathrm {i} ^{2}+1,\mathrm {j} ^{2}-1,\mathrm {i} \mathrm {j} +\mathrm {j} \mathrm {i} )}$는 분할 사원수의 실수 결합 대수이다. 이는 사실 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}$ (2×2 실수 정사각 행렬의 대수)와 실수 결합 대수로서 동형이다.
• ${\displaystyle \operatorname {H} (n;K)}$는 ${\displaystyle K}$ 계수 ${\displaystyle n\times n}$ 에르미트 행렬들의 요르단 대수이다.

3×3

3×3 행렬의 경우, (분할) 팔원수의 3×3 행렬 공간 ${\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {O} )}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {H} (3;{\tilde {\mathbb {O} }})}$가 요르단 대수가 되므로, 프로이덴탈 마방진에 이를 추가할 수 있다.

${\displaystyle J}$ ╲ ${\displaystyle K}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {C} }$	${\displaystyle \mathbb {H} }$	${\displaystyle \mathbb {O} }$	${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}}$	${\displaystyle {\tilde {\mathbb {H} }}}$	${\displaystyle {\tilde {\mathbb {O} }}}$
${\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$	${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(6)}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(6;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4(4)}}$
${\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)^{\oplus 2}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(6)}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3,3)}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(2)}}$
${\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {H} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(6)}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(6)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(12)}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(6)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(12)}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(-5)}}$
${\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {O} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(-26)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(-25)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8(-24)}}$
${\displaystyle \operatorname {H} (3;{\tilde {\mathbb {C} }})}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(6)}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(-26)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {R} )^{\oplus 2}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(6;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(6)}}$
${\displaystyle \operatorname {H} (3;{\tilde {\mathbb {H} }})}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(6;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3,3)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(12)}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(-25)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(6;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(6,6)}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(7)}}$
${\displaystyle \operatorname {H} (3;{\tilde {\mathbb {O} }})}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4(4)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(2)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(-5)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8(-24)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(6)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(7)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8(8)}}$

2×2

2×2인 경우, 팔원수의 경우 약간의 해설이 필요하다. 이 경우,

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(\mathbb {K} ,\operatorname {H} (2;\mathbb {O} ))\qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \})}$

는 잘 정의되지만, 반대로

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(\mathbb {O} ,\operatorname {H} (2;\mathbb {K} ))\qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \})}$

는 잘 정의되지 않는다. 이 경우, 대칭성을 사용하여 둘째 대수를 첫째와 같게 임의로 정의할 수 있다. 사실, 이러한 경우 항상

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(\mathbb {K} ,\mathbb {H} (2;\mathbb {K} '))\cong {\mathfrak {o}}(\mathbb {K} \oplus \mathbb {K} ')\qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \},\;\mathbb {K} '\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} \})}$^{[1]:Theorem 8.3}

임을 보일 수 있다. (계량 부호수는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$와 ${\displaystyle \mathbb {K} '}$의 고유 내적으로부터 유도된다.) 이를 통해, ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {K} '=\mathbb {O} }$인 경우 등의 칸을 채워 넣을 수 있다.

${\displaystyle J}$ ╲ ${\displaystyle K}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {C} }$	${\displaystyle \mathbb {H} }$	${\displaystyle \mathbb {O} }$	${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}}$	${\displaystyle {\tilde {\mathbb {H} }}}$	${\displaystyle {\tilde {\mathbb {O} }}}$
${\displaystyle \operatorname {H} (2;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2;\mathbb {R} )={\mathfrak {u}}(1)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )={\mathfrak {su}}(2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(5;\mathbb {R} )={\mathfrak {usp}}(4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(9;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,1)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,2)={\mathfrak {sp}}(4;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(5,4)}$
${\displaystyle \operatorname {H} (2;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )={\mathfrak {su}}(2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(4;\mathbb {R} )={\mathfrak {su}}(2)^{\oplus 2}}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(6;\mathbb {R} )={\mathfrak {su}}(4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(10;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(4,2)={\mathfrak {su}}(2,2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(6,4)}$
${\displaystyle \operatorname {H} (2;\mathbb {H} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(5;\mathbb {R} )={\mathfrak {usp}}(4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(6;\mathbb {R} )={\mathfrak {su}}(4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(8;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(12;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(5,1)={\mathfrak {su}}^{*}(4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(6,2)={\mathfrak {o}}^{*}(8)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(8,4)}$
${\displaystyle \operatorname {H} (2;\mathbb {O} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(9;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(10;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(12;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(16;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(9,1)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(10,2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(12,4)}$
${\displaystyle \operatorname {H} (2;{\tilde {\mathbb {C} }})}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,1)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(5,1)={\mathfrak {su}}^{*}(4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(9,1)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,2)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )^{\oplus 2}}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,3)={\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(5,5)}$
${\displaystyle \operatorname {H} (2;{\tilde {\mathbb {H} }})}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,2)={\mathfrak {sp}}(4;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(4,2)={\mathfrak {su}}(2,2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(6,2)={\mathfrak {o}}^{*}(8)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(10,2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,3)={\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(4,4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(6,6)}$
${\displaystyle \operatorname {H} (2;{\tilde {\mathbb {O} }})}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(5,4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(6,4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(8,4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(12,4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(5,5)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(6,6)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(8,8)}$

1×1

1×1 행렬의 경우, ${\displaystyle \mathbb {R} =\operatorname {H} (1;\mathbb {R} )=\operatorname {H} (1;\mathbb {C} )=\operatorname {H} (1;\mathbb {H} )}$이므로, 더 이상 대칭성이 성립하지 않는다. 이는 행렬이 “너무 작아서” 있어야 하는 일부 미분들이 자명하게 작용하기 때문이다.^{[1]:Theorem 4.2}

${\displaystyle J}$ ╲ ${\displaystyle K}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {C} }$	${\displaystyle \mathbb {H} }$	${\displaystyle \mathbb {O} }$	${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}}$	${\displaystyle {\tilde {\mathbb {H} }}}$	${\displaystyle {\tilde {\mathbb {O} }}}$
${\displaystyle \mathbb {R} }$	0	0	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$	0	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2(2)}}$

역사

자크 티츠와 한스 프로이덴탈^{[4][5][6][7][8][9]}이 1950년대 말에 각각 독자적으로 발견하였다. 그러나 티츠는 이 내용을 1966년에 와서야 출판하였다.^[10]

같이 보기

• E₆
• E₇
• E₈
• F₄
• G₂

참고 문헌

1. Barton, C. H.; Sudbery, A. (2003). “Magic squares and matrix models of Lie algebras”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 180 (2): 596–647. arXiv:math/0203010. doi:10.1016/S0001-8708(03)00015-X. 
2. Baez, John Carlos (2002). “The octonions”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 39 (2): 145–205. arXiv:math/0105155v4. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. ISSN 0273-0979. MR 1886087. 
3. Ramond, Pierre (1976). 《Introduction to exceptional Lie groups and algebras》 (영어). CALT-68-577. 캘리포니아 공과대학교. 
4. Freudenthal, Hans (1954). “Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. Ⅰ”. 《Indagationes Mathematicae》 (독일어) 16: 218–230. MR 0063358. 
5. Freudenthal, Hans (1954). “Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. Ⅱ”. 《Indagationes Mathematicae》 (독일어) 16: 363–368. MR 0068549. 
6. Freudenthal, Hans (1955). “Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. Ⅲ”. 《Indagationes Mathematicae》 (독일어) 17: 151–157. MR 0068550. 
7. Freudenthal, Hans (1955). “Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. Ⅳ”. 《Indagationes Mathematicae》 (독일어) 17: 277–285. MR 0068551. 
8. Freudenthal, Hans (1959). “Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. Ⅴ – Ⅸ”. 《Indagationes Mathematicae》 (독일어) 21: 165–201, 447–474. 
9. Freudenthal, Hans (1963). “Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. Ⅹ, Ⅺ”. 《Indagationes Mathematicae》 (독일어) 25: 457–471, 472–487. MR 0163203. 
10. Tits, Jacques (1966). “Algèbres alternatives, algèbres de Jordan et algèbres de Lie exceptionnelles”. 《Indagationes Mathematicae》 (프랑스어) 28: 223–237. MR 0219578. 

외부 링크

• “Freudenthal magic square”. 《nLab》 (영어). 
• “Magic triangle”. 《nLab》 (영어). 
• “Magic pyramid”. 《nLab》 (영어).