주기함수

수학에서 주기 함수(週期函數, 영어: periodic function)는 함숫값이 일정 주기마다 되풀이되는 함수이다. 일상적인 예로, 시계 시간은 시간에 대한 함수로서 주기 함수이다. 즉, 시계의 행동은 날마다 똑같다.

정의

실수 함수

0이 아닌 실수 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ 및 실수 부분 집합 ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} }$ 및 실수 함수 ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 ${\displaystyle f}$를 주기 함수라고 하고, 실수 ${\displaystyle t}$를 ${\displaystyle f}$의 주기(週期, 영어: period)라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in D}$에 대하여, ${\displaystyle f(x+t)=f(x)=f(x-t)}$이다.
• ${\displaystyle \textstyle f=\bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }T_{nt}(f|_{D\cap I})}$인 유한 실수 구간 ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$이 존재한다. 즉, ${\displaystyle f}$의 그래프는 그 "유한한" 제한의 그래프에 대한 거듭된 수평 평행 이동으로 생성된다.
  • 여기서 ${\displaystyle T_{t}(g)\colon \operatorname {dom} g+t\to \mathbb {R} }$이며, ${\displaystyle T_{t}(g)(x+t)=g(x)\ (\forall x\in \operatorname {dom} g)}$이다. 즉, ${\displaystyle T_{t}}$는 함수의 그래프를 수평 방향으로 ${\displaystyle t}$만큼 평행 이동하는 변환이다.

이에 따라, 다음이 성립한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in D}$에 대하여, ${\displaystyle x+t,x-t\in D}$이다.
• ${\displaystyle \textstyle D=\bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }(D\cap I+nt)}$인 유한 실수 구간 ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$이 존재한다.

기본 주기

실수 주기 함수 ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ 및 실수 ${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 실수 ${\displaystyle T}$를 ${\displaystyle f}$의 기본 주기(基本週期, 영어: fundamental period, primitive period)라고 한다. 이는 존재하지 않을 수 있다.

• ${\displaystyle T}$는 양의 최소 주기이다.
• ${\displaystyle \operatorname {prd} f=T\mathbb {Z} }$. 즉, ${\displaystyle f}$의 주기는 곧 ${\displaystyle \ldots ,-2T,-T,0,T,2T,\ldots }$이다.

성질

실수 주기 함수 ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$의 주기와 0의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {prd} f}$로 적자. 즉,

${\displaystyle \operatorname {prd} f=\{t\in \mathbb {R} \colon f(x+t)=f(x)\}}$

이라고 하자. 그렇다면, 이는 덧셈에 대하여 닫혀있다. 다시 말해,

• 임의의 ${\displaystyle t,u\in \operatorname {prd} f}$에 대하여, ${\displaystyle t+u,t-u\in \operatorname {prd} f}$이다.
• 특히, 임의의 ${\displaystyle t\in \operatorname {prd} f}$ 및 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$에 대하여, ${\displaystyle nt\in \operatorname {prd} f}$이다.

따라서 ${\displaystyle \operatorname {prd} f}$는 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다.

기본 주기

실수 주기 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$가 기본 주기를 갖지 않는다.
• ${\displaystyle \operatorname {prd} f}$가 ${\displaystyle \mathbb {R} }$에서 조밀 집합이다.

만약 주기 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$가 기본 주기를 갖지 않는다면, 상수 함수이거나, 아니면 모든 곳에서 불연속이다.

예

실수를 그 소수 부분으로 대응시키는 함수 ${\displaystyle f}$는

${\displaystyle \cdots =f(-2.9)=f(-1.9)=f(-0.9)=0.1=f(0.1)=f(1.1)=f(2.1)=\cdots }$

${\displaystyle \cdots =f(-2.7)=f(-1.7)=f(-0.7)=0.3=f(0.3)=f(1.3)=f(2.3)=\cdots }$

과 같이, 주기 함수이며, 그 기본 주기는 1이다.

삼각 함수는 모두 주기 함수이다. 사인 · 코사인 함수는 ${\displaystyle 2\pi }$, 탄젠트 함수는 ${\displaystyle \pi }$를 기본 주기로 한다.

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x}$

${\displaystyle \cos(x+2\pi )=\cos x}$

${\displaystyle \tan(x+\pi )=\tan x}$

상수 함수는 주기 함수이며, 모든 실수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.

디리클레 함수

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}$

는 주기 함수이며, 모든 유리수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.

같이 보기

• 주파수
• 파동