수론에서, 정수 n {\displaystyle n} 에 대해, a {\displaystyle a} 가 n {\displaystyle n} 의 제곱잉여(이차잉여)(二次剩餘, 영어: quadratic residue) 라는 것은 x 2 = a {\displaystyle x^{2}=a} mod n {\displaystyle n} 를 만족하는 정수 x {\displaystyle x} 가 존재한다는 것이다.
만약 이 방정식을 만족하는 정수 x {\displaystyle x} 가 존재하지 않으면, a {\displaystyle a} 는 n {\displaystyle n} 의 제곱 비잉여(이차 비잉여)(非二次剩餘,영어: quadratic nonresidue) 라고 한다.
예를 들어,
이므로, 1, 2, 4는 7에 대한 제곱잉여이다. 한편, 3, 5, 6은 7에 대한 제곱잉여가 아니다. 일반적으로 홀수인 소수 p {\displaystyle p\,} 에 대하여 1 , 2 , ⋯ , p − 1 {\displaystyle 1,2,\cdots ,p-1} 가운데 제곱잉여인 수와 제곱잉여가 아닌 수는 각각 p − 1 2 {\displaystyle {\frac {p-1}{2}}} 개씩 존재한다.
두 홀수 소수 p , q {\displaystyle p,q} 가 서로에 대해 제곱잉여인지 여부에 대하여, 이차 상호 법칙이라 부르는 대칭적인 관계가 성립한다.