작용소 노름

함수해석학에서 작용소 노름(作用素norm, 영어: operator norm)은 두 노름 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 정의되는 노름이다.

두 노름 공간 사이의 유계 작용소는 단위 벡터를 어떤 유한한 길이 이상으로 늘리지 못하는, 두 노름 공간 사이의 선형 변환인데, 유계 작용소가 단위 벡터를 늘리는 최댓값을 그 작용소 노름이라고 한다. 즉, 작용소 노름이 c인 작용소는 임의의 벡터의 길이를 c배 초과로 늘리지 못한다.

정의

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나이며, ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$가 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간이라고 하자. 그렇다면, 이들 사이의 선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to W}$에 대하여, 다음과 같은 음이 아닌 확장된 실수를 정의할 수 있으며, 이를 ${\displaystyle T}$의 작용소 노름이라고 한다.^{[1]:69, Example III.1.4[2]:92–93, Theorem 4.1; 95, Theorem 4.4}

${\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {\|Tv\|_{W}}{\|v\|_{V}}}\\&=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}\|T(v/\|v\|_{V})\|_{W}\\&=\inf \left\{c\in [0,\infty )\colon \|Tv\|_{W}\leq c\|v\|_{V}\forall v\in V\right\}\\&=\inf \left\{c\in [0,\infty ):{\frac {\|Tv\|_{W}}{\|v\|_{V}}}\leq c\forall v\in V\setminus \{0\}\right\}\\&=\sup _{v\in V,\;\|v\|_{V}=1}\|Tv\|_{W}\\&\in [0,\infty ]\end{aligned}}}$

위 상계(또는 하계)는 일반적으로 포화되지 못할 수 있다.

성질

작용소 노름은 유계 작용소 위의 노름이다. 즉, 아래의 성질을 만족시킨다.

${\displaystyle \|T\|=0\iff T=0\qquad \forall T\in \operatorname {B} (V,W)}$

${\displaystyle \|aT\|=|a|\|T\|\qquad \forall a\in \mathbb {K} ,\;T\in \operatorname {B} (V,W)}$

(삼각 부등식) ${\displaystyle \|T+U\|\leq \|T\|+\|U\|\qquad \forall T,U\in \operatorname {B} (V,W)}$

두 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$ 사이의 임의의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환 ${\displaystyle T\in \hom _{\mathbb {K} }(V,W)}$에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이다.^{[2]:24, Theorem 1.32}

• ${\displaystyle T}$는 유계 작용소이다.
• ${\displaystyle T}$는 (${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$의 위상에 대하여) 연속 함수이다.
• (${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$의 덧셈 위상군 균등 공간 구조에 대하여) 균등 연속 함수이다.
• ${\displaystyle T}$는 (${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$의 노름 거리 함수에 대하여) 립시츠 연속 함수이다.
• ${\displaystyle T}$의 작용소 노름이 유한하다. 즉, ${\displaystyle \|T\|<\infty }$이다.

이 가운데 ‘립시츠 연속 ⇒ 균등 연속 ⇒ 연속’은 자명하다.

증명 (유한 노름 ⇒ 립시츠 연속):

유한한 노름의 작용소 ${\displaystyle T}$가 주어졌을 때, 임의의 ${\displaystyle u,v\in V}$에 대하여,

${\displaystyle d(Tu,Tv)=\|Tu-Tv\|=\|T(u-v)\|\leq \|T\|d(u,v)}$

이므로, ${\displaystyle T}$는 립시츠 상수 ${\displaystyle \|T\|}$에 대하여 립시츠 연속 함수이다.

증명 (연속 ⇒ 유한 노름):

연속 작용소 ${\displaystyle T}$가 주어졌다고 하자. 연속성의 정의에 따라,

${\displaystyle T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,\delta )\right)\subseteq \operatorname {ball} _{W}(0,1)}$

인 양의 실수 ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{+}}$가 존재한다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {ball} (x,r)}$는 열린 공을 뜻한다.)

그렇다면, 연속성에 따라, 임의의 ${\displaystyle v\in V\setminus \{0\}}$에 대하여, ${\displaystyle \delta v/2\|v\|\in \operatorname {ball} _{V}(0,\delta )}$이므로,

${\displaystyle \|Tv\|={\frac {2\|v\|}{\delta }}\cdot \|T(\delta v/2\|v\|)\|\leq {\frac {2\|v\|}{\delta }}}$

이다. 즉,

${\displaystyle \|T\|\leq {\frac {2}{\delta }}<\infty }$

이다.

각주

1. Reed, Michael C.; Simon, Barry (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001. 
2. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

같이 보기

• 페아노의 정리

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Operator norm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.