일계수 다항식

대수학에서 일계수 다항식(一係數多項式, 영어: monic polynomial 모닉 폴리노미얼^[*])은 최고차 항의 계수가 1인 다항식이다. 이들의 집합은 곱셈에 대하여 모노이드를 이루며, 인자(因子) 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다.

정의

가환환 ${\displaystyle K}$ 계수의 다항식환 ${\displaystyle K[x]}$의 원소

${\displaystyle p=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}\in K[x]\qquad (a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n}\in K)}$

를 생각하자. 만약 ${\displaystyle a_{n}=1}$이라면, 다항식 ${\displaystyle p}$를 일계수 다항식이라고 한다.

예외적으로, 다항식 ${\displaystyle p=0}$은 일계수 다항식으로 간주하지 않는다.

일계수 다항식들의 부분 집합을 ${\displaystyle \operatorname {Monic} (K[x])}$로 표기하자.

성질

곱셈에 대한 닫힘

유한 개의 일계수 다항식들의 곱은 일계수 다항식이다. 즉, 가환환 ${\displaystyle K}$ 계수의 다항식환 ${\displaystyle K[x]}$ 속에서, 일계수 다항식들의 집합 ${\displaystyle \operatorname {Monic} (K[x])\subseteq K[x]}$은 곱셈에 대한 가환 모노이드를 이룬다.

반면, 일계수 다항식들은 일반적으로 덧셈에 대하여 닫혀 있지 않다.

부분 순서

가환환 ${\displaystyle K}$에 대하여, ${\displaystyle (\operatorname {Monic} (K[x]),\mid )}$는 다음과 같이 부분 순서 집합을 이룬다. 여기서 ${\displaystyle p\mid q}$는

${\displaystyle q(x)=p(x)r(x)}$

가 되는 다항식 ${\displaystyle r\in K[x]}$이 존재함을 뜻한다.

(반면, 일계수 다항식 조건을 생략한다면, ${\displaystyle (K[x],\mid )}$는 일반적으로 원순서 집합이지만 부분 순서 집합이 아닐 수 있다. 예를 들어, 임의의 가역원 ${\displaystyle a\in K^{\times }}$에 대하여 ${\displaystyle 1\mid a\mid 1}$이지만 ${\displaystyle 1\neq a}$일 수 있다.)

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Monic polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Monic polynomial”. 《nLab》 (영어).