이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform, DFT )은 이산적인 입력 신호에 대한 푸리에 변환 으로, 디지털 신호 분석과 같은 분야에 사용된다.
이산 푸리에 변환은 고속 푸리에 변환 (Fast Fourier Transform,FFT )을 이용해 빠르게 계산할 수 있다. 이외에 이산 푸리에 변환을 계산하는 알고리즘으로
Goertzel 알고리즘 (Goertzel algorithm )이 있다. 이 알고리즘은 특히 전화 통화에 있어서 tone detection에 쓰인다.
이산 푸리에 변환을 논하기 전에 먼저 푸리에 변환식을 보자. 시간 연속적 신호(continuous-time signal)
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
X
(
ω ω -->
)
=
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
x
(
t
)
e
− − -->
i
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
t
d
t
{\displaystyle X({\boldsymbol {\omega }})=\int _{-\infty }^{\infty }x(\mathbf {t} )e^{-i{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {t} }\,d\mathbf {t} }
여기서 t ω n -차원 벡터들이고, t · ω
따라서, 미적분학이 필요하다. 반면에 DFT는 무한 적분을 유한 합으로 대체한다. 신호 x의 DFT는
X
(
ω ω -->
k
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
N
− − -->
1
x
(
t
n
)
e
− − -->
i
ω ω -->
k
t
n
,
k
=
0
,
⋯ ⋯ -->
,
N
− − -->
1
(
1
)
{\displaystyle X({\boldsymbol {\omega }}_{k})=\sum _{n=0}^{N-1}x(t_{n})e^{-i\omega _{k}t_{n}},\qquad k=0,\cdots ,N-1\qquad \qquad (1)}
X(ωk ): 주파수 ωk 에서 x 의 스펙트럼
x(tn ): 시간 tn 에서 입력 신호의 진폭(amplitude, 실수 또는 복소수)
tn : nT = n 번째 샘플링 instant(sec) n:양의 정수
ωk : kΩ= k 번째 주파수 샘플 (rad/sec)
Ω: 2π/NT = radian-주파수 샘플링 간격 (rad/sec)
T : 샘플링 간격 (sec)
N = 시간 샘플 수 또는 주파수 샘플 수(number of samples)
x
(
t
n
)
{\displaystyle x(t_{n})}
N
{\displaystyle N}
복소수 신호
x
0
,
x
1
,
x
2
,
⋯ ⋯ -->
,
x
N
− − -->
1
{\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N-1}}
X
0
,
X
1
,
X
2
,
⋯ ⋯ -->
,
X
N
− − -->
1
{\displaystyle X_{0},X_{1},X_{2},\cdots ,X_{N-1}}
X
k
≡ ≡ -->
∑ ∑ -->
n
=
0
N
− − -->
1
x
n
e
− − -->
2
π π -->
i
N
k
n
,
k
=
0
,
⋯ ⋯ -->
,
N
− − -->
1
(
2
)
{\displaystyle X_{k}\equiv \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {2\pi i}{N}}kn},\qquad k=0,\cdots ,N-1\qquad \qquad (2)}
또한 역변환(Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT )은 다음과 같이 정의된다.
x
n
=
1
N
∑ ∑ -->
k
=
0
N
− − -->
1
X
k
e
2
π π -->
i
N
k
n
,
n
=
0
,
⋯ ⋯ -->
,
N
− − -->
1
{\displaystyle x_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}e^{{\frac {2\pi i}{N}}kn},\qquad n=0,\cdots ,N-1}
선형성(Linearity)
시간 및 주파수 반전(Time and frequency reversal)
시간 켤레(Conjugation in time)
실수부와 허수부(Real and imaginary part)
직교성(Orthogonality)
플란케렐 정리와 파세발 정리(The Plancherel theorem and Parseval's theorem)
주기성(Periodicity)
이동정리(Shift theorem)
원형 합성곱 정리 및 상호 상관 정리(Circular convolution theorem and cross-correlation theorem)
컨볼루션 정리의 이중성(Convolution theorem duality)
삼각 보간 다항식 (Trigonometric interpolation polynomial)
유니타리 DFT(The unitary DFT)
역 DFT를 DFT로 표현하기(Expressing the inverse DFT in terms of the DFT)
고유치와 고유벡터(Eigenvalues and eigenvectors)
불확정성 원리(Uncertainty principles)
실수 및 순수 허수 신호의 DFT(DFT of real and purely imaginary signals)
