순환 지표

군론과 조합론에서 순환 지표(循環指標, 영어: cycle index)는 유한 집합 위에 충실하게 작용하는 유한군에 대응되는 다변수 다항식 불변량이다. 군의 작용의 궤도들의 크기와 수에 대한 생성 함수이다.

정의

크기가 ${\displaystyle n}$인 유한 집합 ${\displaystyle X}$ 및 그 대칭군의 부분군 ${\displaystyle G\leq \operatorname {Sym} (X)}$이 주어졌다고 하자. (즉, ${\displaystyle G}$가 ${\displaystyle X}$ 위에 충실하게 작용한다고 하자.) ${\displaystyle G}$의 순환 지표(循環指標, 영어: cycle index)

${\displaystyle Z_{G}\in \mathbb {Q} [t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}]}$

는 다음과 같은 다항식이다.

${\displaystyle Z_{G}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}t_{1}^{c_{1}(g)}t_{2}^{c_{2}(g)}\cdots t_{n}^{c_{n}(g)}}$

여기서 ${\displaystyle c_{i}(g)}$는 순열 ${\displaystyle g\in G}$의 길이 ${\displaystyle i}$의 순환의 수이다. 즉, ${\displaystyle g}$로 생성되는 ${\displaystyle G}$의 부분군 ${\displaystyle \langle g\rangle \leq G}$이 ${\displaystyle X}$ 위에 작용할 때, 주어진 크기의 궤도들의 수이다.

추상적으로 서로 동형인 군이라도, 집합 위의 작용이 다르다면 서로 다른 순환 지표를 가질 수 있다.

예

자명군

자명군은 임의의 크기 ${\displaystyle n}$의 유한 집합 위에 충실하게 작용한다. 이 경우 순환 지표는

${\displaystyle Z_{1}(t_{1},\dots ,t_{n})=t_{1}^{n}}$

이다.

순환군

${\displaystyle n}$차 순환군 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)}$은 크기가 ${\displaystyle n}$인 집합 위에

${\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)=\{(1)(2)(3)\cdots (n),(123\cdots n),(1357\cdots ),(147\cdots ),(15\cdots )\}}$

와 같이 작용한다. 이 작용을 갖춘 순환군 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)}$의 경우

${\displaystyle Z_{\operatorname {Cyc} (n)}(t_{1},\dots ,t_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\phi (d)t_{d}^{n/d}}$

이다. 여기서 ${\displaystyle \phi }$는 오일러 피 함수이다.

정이면체군

${\displaystyle n}$차 정이면체군 ${\displaystyle \operatorname {Dih} (n)=\langle a,b|a^{n}=b^{2}=(ba)^{2}=1\rangle }$은 크기 ${\displaystyle n}$의 집합 위에 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle a\mapsto (1234\cdots n)}$

${\displaystyle b\colon {\begin{cases}(1n)(2,n-1)\cdots (n/2,n/2+1)&2\mid n\\(1n)(2,n-1)\cdots ((n+1)/2)&2\nmid n\end{cases}}}$

정이면체군 ${\displaystyle \operatorname {Dih} (n)}$의 순환 지표는 다음과 같다.

${\displaystyle Z_{\operatorname {Dih} (n)}(t_{1},\dots ,t_{n})={\frac {1}{2}}Z_{\operatorname {Cyc} (n)}(t_{1},\dots ,t_{n})+{\begin{cases}{\frac {1}{4}}(t_{2}^{n/2}+t_{1}^{2}t_{2}^{n/2-1})&2\mid n\\{\frac {1}{2}}t_{1}t_{2}^{(n-1)/2}&2\nmid n\end{cases}}}$

대칭군과 교대군

크기 ${\displaystyle n!}$의 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$은 크기 ${\displaystyle n}$의 집합 위에 자연스럽게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 다음과 같다.

${\displaystyle Z_{\operatorname {Sym} (n)}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})=\sum _{j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +nj_{n}=n}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{n}k^{j_{k}}j_{k}!}}\prod _{k=1}^{n}t_{k}^{j_{k}}}$

이 합에서 ${\displaystyle (j_{1},j_{2},\dots ,j_{n})}$의 항은 크기 ${\displaystyle i}$의 순환이 ${\displaystyle j_{i}}$개 있는 순열에 대응한다.

크기 ${\displaystyle n!/2}$의 교대군 ${\displaystyle \operatorname {Alt} (n)\leq \operatorname {Sym} (n)}$ 역시 크기 ${\displaystyle n}$의 집합 위에 자연스럽게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 다음과 같다.

${\displaystyle Z_{\operatorname {Alt} (n)}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})=\sum _{j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +nj_{n}=n}{\frac {1+(-1)^{j_{2}+j_{4}+\cdots }}{\prod _{k=1}^{n}k^{j_{k}}j_{k}!}}\prod _{k=1}^{n}t_{k}^{j_{k}}}$

이 합에서 ${\displaystyle 1+(-1)^{j_{2}+j_{4}+\cdots }}$은 짝순열의 경우 2이며 홀순열의 경우 0이다.

정육면체

정육면체 및 정팔면체의 방향 보존 대칭군 ${\displaystyle O\leq \operatorname {SO} (3)}$은 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (4)}$와 동형인, 크기가 24인 유한군이다. 이는 정육면체의 6개의 면 (또는 정팔면체의 6개의 꼭짓점)에 충실하게 작용한다. 이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.

${\displaystyle Z_{O}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{6})={\frac {1}{24}}\left(t_{1}^{6}+6t_{1}^{2}t_{4}+3t_{1}^{2}t_{2}^{2}+8t_{3}^{2}+6t_{2}^{3}\right)}$

여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.

• ${\displaystyle t_{1}^{6}}$: 항등원
• ${\displaystyle t_{1}^{2}t_{4}}$: 정육면체 면에 수직인 축으로 90도 회전
• ${\displaystyle t_{1}^{2}t_{2}^{2}}$: 정육면체 면에 수직인 축으로 180도 회전
• ${\displaystyle t_{3}^{2}}$: 정팔면체 면에 수직인 축으로 120도 회전
• ${\displaystyle t_{2}^{3}}$: (정육면체 또는 정팔면체) 변에 수직인 축으로 180도 회전

${\displaystyle O}$는 또한 정육면체의 8개의 꼭짓점(또는 정팔면체의 8개의 면)에 충실하게 작용한다. 이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.

${\displaystyle Z_{O}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{6})={\frac {1}{24}}\left(t_{1}^{8}+6t_{4}^{2}+9t_{2}^{4}+8t_{1}^{3}t_{3}^{2}\right)}$

여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.

• ${\displaystyle t_{1}^{8}}$: 항등원
• ${\displaystyle t_{4}^{2}}$: 정육면체 면에 수직인 축으로 90도 회전
• ${\displaystyle t_{2}^{4}}$: 정육면체 면에 수직인 축으로 180도 회전
• ${\displaystyle t_{1}^{3}t_{3}^{2}}$: 정팔면체 면에 수직인 축으로 120도 회전
• ${\displaystyle t_{2}^{4}}$: (정육면체 또는 정팔면체) 변에 수직인 축으로 180도 회전

정사면체

정사면체의 대칭군 ${\displaystyle T\leq \operatorname {SO} (3)}$은 교대군 ${\displaystyle \operatorname {Alt} (4)}$와 동형인, 크기 12의 유한군이다. 이는 정사면체의 4개의 면 (또는 4개의 꼭짓점)에 충실하게 작용한다.

이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.

${\displaystyle Z_{T}(t_{1},t_{2},t_{3},t_{4})={\frac {1}{12}}\left(t_{1}^{4}+8t_{1}t_{3}+t_{2}^{2}\right)}$

여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.

• ${\displaystyle t_{1}^{4}}$: 항등원
• ${\displaystyle t_{1}t_{3}}$: 120도 (시계 방향 또는 시계 반대 방향) 회전
• ${\displaystyle t_{2}^{2}}$: 180도 회전

역사

헝가리의 수학자 포여 죄르지가 1937년에 포여 열거 정리에 사용하기 위하여 도입하였다.^[1]

각주

1. Pólya, G. (1937). “Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen”. 《Acta Mathematica》 (독일어) 68 (1): 145–254. doi:10.1007/BF02546665. ISSN 0001-5962. Zbl 0017.23202. 

• Tucker, Alan (1974년 11월). “Polya’s enumeration formula by example” (PDF). 《Mathematics Magazine》 (영어) 47 (5): 248–256. doi:10.2307/2688047. JSTOR 2688047. Zbl 0297.05007. 2015년 6월 16일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 1월 17일에 확인함. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cycle index”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Yuan, Qiaochu (2009년 6월 21일). “GILA V: The Polya enumeration theorem and applications”. 《Annoying Precision》 (영어). 
• Yuan, Qiaochu (2009년 6월 24일). “GILA VI: The cycle index polynomials of the symmetric groups”. 《Annoying Precision》 (영어).