분포 (해석학)

함수해석학에서 분포(分布, 문화어: 초함수^[1], 영어: distribution)는 함수와 확률 분포 등을, 디랙 델타 분포와 같이 특이점을 가질 수 있게 일반화한 것이다.

정의

유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 속의 열린집합 ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle U}$ 위의 실수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수들의 실수 벡터 공간을 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(U)}$ 또는 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$라고 쓰고, 그 원소를 ${\displaystyle U}$ 위의 시험 함수(試驗函數, 영어: test function)라고 한다.

여기에 다음과 같은 위상을 주자. 함수열 ${\displaystyle f_{i}\in {\mathcal {D}}(U)}$이 ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$로 수렴할 필요충분조건은 다음 두 조건이 모두 성립하는 것과 동치이다.

• 어떤 콤팩트 집합 ${\displaystyle K\subset U}$에 대하여,

  ${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{\infty }\operatorname {supp} f_{i}\subseteq K}$

• 모든 다중지표 ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$에 대하여, ${\displaystyle \partial ^{\alpha }f_{i}{\xrightarrow {\text{unif}}}f}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {supp} }$은 지지 집합을 뜻하며, ${\displaystyle {\xrightarrow {\text{unif}}}}$은 균등 수렴을 뜻한다. 이 위상에 따라, 시험 함수 공간 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$는 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간을 이룬다.

${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$의 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$를 분포 공간(分布空間, 영어: space of distributions)이라고 하고, 그 원소를 분포(分布, 영어: distribution)라고 한다. 분포 ${\displaystyle F}$ 및 시험 함수 ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$에 대하여, ${\displaystyle F(f)}$는 보통 다음과 같이 표기한다.

${\displaystyle F(f)=\int _{U}F(x)f(x)\,d^{n}x}$

물론 ${\displaystyle x\in U}$에 대하여 ${\displaystyle F(x)}$라는 대상은 엄밀히 정의되지 않으므로 우변의 표기법은 단순히 표기법에 불과하다.

연산

지지 집합

분포 ${\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'(U)}$의 지지 집합(支持集合, 영어: support) ${\displaystyle \operatorname {supp} F}$은 다음과 같이 정의된다. ${\displaystyle x\not \in \operatorname {supp} F}$라는 것은 다음 조건과 일치한다.

• ${\displaystyle x}$의 어떤 열린 근방 ${\displaystyle V\ni x}$에 대하여, ${\displaystyle F(f)=0\qquad \forall f\in {\mathcal {D}}(V)}$이다.

분포의 지지 집합은 (열린집합들의 합집합의 여집합이므로) 항상 ${\displaystyle U}$ 속의 닫힌집합이다.

분포 ${\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'(U)}$의 특이 지지 집합(特異支持集合, 영어: singular support) ${\displaystyle \operatorname {sing\,supp} F}$은 다음과 같이 정의된다. ${\displaystyle x\not \in \operatorname {sing\,supp} F}$라는 것은 다음 조건과 동치이다.

• ${\displaystyle x}$의 어떤 열린 근방 ${\displaystyle V\ni x}$에 대하여, ${\displaystyle F|_{V}}$는 매끄러운 함수이다. 즉, ${\displaystyle T_{f}=F|_{V}}$가 되는 ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(V)}$가 존재한다.

분포의 특이 지지 집합 역시 ${\displaystyle U}$ 속의 닫힌집합이다.

특이 지지 집합과 관련된 개념으로 파면 집합이 있다. 이는 특이 지지 집합과 달리, 특이성이 발생하는 방향에 대한 정보를 담고 있다.

국소화

열린집합 ${\displaystyle U}$ 위에 정의된 분포 ${\displaystyle F\in \in {\mathcal {D}}'(U)}$와 열린 부분 집합 ${\displaystyle V\subseteq U}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 시험 함수에 대하여 다음과 같은 자연스러운 포함 관계가 존재한다.

${\displaystyle \iota _{VU}\colon {\mathcal {D}}(V)\hookrightarrow {\mathcal {D}}(U)}$

${\displaystyle \iota _{VU}\colon f\mapsto \left(x\mapsto {\begin{cases}f(x)&x\in V\\0&x\in U\setminus V\end{cases}}\right)}$

${\displaystyle F}$의 ${\displaystyle V}$에 대한 제한(영어: restriction)은 다음과 같다.

${\displaystyle F|_{V}\in {\mathcal {D}}'(V)}$

${\displaystyle F|_{V}\colon f\mapsto F(\iota _{VU}f)}$

이에 따라, 분포 공간은 실수 벡터 공간의 층을 이룬다.

일반적으로, 분포 ${\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'(U)}$ 및 점 ${\displaystyle x\in U}$가 주어졌을 때, 분포의 ${\displaystyle x}$에서의 값 ${\displaystyle F(x)}$는 정의할 수 없다. 다만, 만약 ${\displaystyle x\not \in \operatorname {sing\,supp} F}$일 경우, ${\displaystyle F(x)}$를 해당하는 매끄러운 함수의 값으로 정의할 수 있다. 또한, 다른 층과 마찬가지로, ${\displaystyle F}$의 ${\displaystyle x}$에서의 싹을 정의할 수 있다.

미분

부분 적분 공식에 따라, 분포의 미분은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}F\colon f\mapsto -F\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f\right)}$

이를 일반화하여, 임의의 다중지표 ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$에 대하여 분포 ${\displaystyle F}$의 미분 ${\displaystyle \partial ^{\alpha }F}$를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \partial ^{\alpha }F\colon f\mapsto (-1)^{|\alpha |}F(\partial ^{\alpha }f)}$

곱셈

두 분포의 곱셈은 일반적으로 정의할 수 없다.^[2] 구체적으로, 다음 조건들을 만족시키는 분포의 곱셈을 정의할 수 없다.

• 쌍선형이다.
• 곱 규칙이 성립한다.
• 두 국소 적분 가능 함수의 (함수로서의) 곱셈은 분포로서의 곱셈과 일치한다.

예를 들어, 실수선 위의 단위 계단 함수

${\displaystyle \theta (x)={\begin{cases}0&x<0\\1&x>1\end{cases}}}$

를 생각하자. 그렇다면 함수의 곱셈으로서 임의의 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여

${\displaystyle \theta =\theta ^{n}}$

가 성립한다. 양변에 곱 규칙을 적용하고, ${\displaystyle n>1}$이라면

${\displaystyle \delta =n\theta ^{n-1}\delta =n\theta \delta }$

가 된다 (${\displaystyle \delta }$는 디랙 델타 분포). 이는 임의의 ${\displaystyle n>1}$에 대하여 성립하므로, ${\displaystyle \delta =n\theta \delta =0}$이 되어 모순이다.

다만, 두 분포의 파면 집합이 적절한 조건을 만족시킨다면 그 곱셈을 정의할 수 있다.^{[3]:Theorem 13} 특히, 두 분포 가운데 하나가 매끄러운 함수라면, 분포와 함수의 곱셈을 다음과 같이 정의할 수 있다. 임의의 ${\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'(U)}$ 및 ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$에 대하여,

${\displaystyle fF\colon g\mapsto F(fg)}$

이에 따라, ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$는 가환환 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$ 위의 가군을 이루며, 나아가 가환환층 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$ 위의 가군층을 이룬다.

푸리에 변환

 이 부분의 본문은 조절 분포입니다.

시험 함수의 푸리에 변환은 일반적으로 시험 함수가 아니므로, 분포 공간 전체에 푸리에 변환을 정의할 수 없다. 그러나 시험 함수 대신 푸리에 변환에 대하여 닫힌 더 큰 공간인 슈바르츠 함수를 사용하면, 조절 분포라는, 푸리에 변환에 대하여 닫혀 있는 분포 공간의 부분 공간을 얻는다.

성질

분포 공간의 위상

분포 공간 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$는 연속 쌍대 공간이므로, 그 위에 다양한 위상이 존재한다. 흔히 사용되는 위상은 다음과 같다.

• 약한-* 위상. 이 경우 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$는 국소 볼록 공간이지만, 거리화 가능 공간이 아니다.
• 콤팩트 집합 위에서의 균등 수렴 위상. 이 경우, ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$는 국소 볼록 공간이며, 추가로 핵공간(영어: nuclear space)이자 몽텔 공간(영어: Montel space)이다. 그러나 이는 거리화 가능 공간이 아니다.

함수 공간의 매장

${\displaystyle U}$ 위의 국소 적분 가능 함수(영어: locally integrable function)란 다음 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$를 말한다.

• 임의의 콤팩트 집합 ${\displaystyle K\subset U}$에 대하여, ${\displaystyle (|f|)|_{K}}$는 르베그 적분 가능 함수이다.

모든 연속 함수와 임의의 ${\displaystyle p}$에 대하여 L^p 함수는 국소 적분 가능 함수이다. 국소 적분 가능 함수의 공간을 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{loc}}^{1}(U)}$로 쓰자. L^p 공간과 마찬가지로, 임의의 ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}_{\text{loc}}^{1}(U)}$에 대하여 ${\displaystyle f-g}$가 거의 어디서나 0인 경우 ${\displaystyle f\sim g}$로 정의하고,

${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(U)={\mathcal {L}}_{\text{loc}}^{1}(U)/{\sim }}$

으로 정의하자.

국소 적분 가능 함수 ${\displaystyle f}$에 대하여, 대응하는 분포 ${\displaystyle T_{f}\in {\mathcal {D}}'(U)}$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle T_{f}\colon {\mathcal {D}}(U)\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle T_{f}\colon g\mapsto \int _{U}fg}$

(이는 항상 연속 함수라는 것을 보일 수 있다.) 따라서, 이는 실수 벡터 공간의 단사 선형 변환

${\displaystyle T\colon L_{\text{loc}}^{1}(U)\hookrightarrow {\mathcal {D}}'(U)}$

을 정의한다.

측도 공간의 매장

${\displaystyle U}$ 위의 임의의 라돈 측도 ${\displaystyle \mu }$에 대하여, 대응하는 분포 ${\displaystyle T_{\mu }\in {\mathcal {D}}'(U)}$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle T_{\mu }\colon {\mathcal {D}}(U)\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle T_{\mu }\colon g\mapsto \int _{U}g\,d\mu }$

반대로, 분포 ${\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'(U)}$가 다음 성질을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle \forall f\in {\mathcal {D}}(U)\colon (\forall x\in U\colon f(x)\geq 0)\implies F(f)\geq 0}$

그렇다면, ${\displaystyle T_{\mu }=f}$가 되는 라돈 측도 ${\displaystyle \mu }$가 존재한다. 이는 리스 표현 정리와 유사하다.

하지만 위 조건이 성립하지 않을 경우, 일반적인 분포는 (부호 붙은) 측도로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 실수선 위의, 디랙 델타 분포의 미분 ${\displaystyle \delta '}$은 부호 붙은 측도로 나타낼 수 없다.

연속 함수로의 표현

열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 임의의 분포 ${\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'(U)}$는 유한 개의 다중지표와 연속 함수들 ${\displaystyle (\alpha _{1},f_{1}),\dots ,(\alpha _{k},f_{k})}$로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle F=\sum _{i=1}^{k}\partial ^{\alpha _{k}}f_{k}}$

다시 말해, 분포 공간은 연속 함수들의 모든 유한차 미분을 포함하는 최소의 벡터 공간이다.

예

함수와 측도

모든 국소 적분 가능 함수는 분포를 이룬다. 마찬가지로, 모든 라돈 측도 역시 분포를 이룬다. 보다 일반적으로, 부호 붙은 라돈 측도, 즉 두 라돈 측도의 차 ${\displaystyle \mu _{+}-\mu _{-}}$ 역시 분포를 이룬다.

디랙 델타 함수와 그 도함수

실수선 위에 다음과 같은 연속 함수를 생각하자.

${\displaystyle f(x)=\max\{x,0\}}$

이 함수에 도함수를 취하면, 다음과 같은 분포들을 얻는다.

• ${\displaystyle f'(x)}$는 단위 계단 함수이다. 이는 국소 적분 가능 함수로 나타낼 수 있지만, 연속 함수가 아니다.
• ${\displaystyle f''(x)=\delta (x)}$는 디랙 델타 분포이다. 이는 더 이상 함수가 아니지만, 라돈 측도이며, 다음과 같다.

  ${\displaystyle \int \delta (x)g(x)=g(0)}$

• ${\displaystyle f''(x)=\delta '(x)}$는 디랙 델타의 도함수이다. 이는 더 이상 라돈 측도조차 아니며, 다음과 같다.

  ${\displaystyle \int \delta '(x)g(x)=-\int g'(x)\delta (0)=-g'(0)\qquad \forall g\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$

• 계속해서 도함수를 취하면, 다음과 같다.

  ${\displaystyle \int \delta ^{(n)}(x)g(x)=(-1)^{n}g^{(n)}(0)\qquad \forall g\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$

코시 주요값

 이 부분의 본문은 코시 주요값입니다.

실수선 위에, ${\displaystyle f(x)=x(\ln |x|-1)}$는 연속 함수를 이룬다. 이 함수의 도함수들은 다음과 같다.

• ${\displaystyle f'(x)=\ln |x|}$는 연속 함수가 아니지만, 국소 적분 가능 함수이다.
• ${\displaystyle f''(x)=\operatorname {pv} 1/x}$는 다음과 같다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {pv} }$는 코시 주요값이다.)

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\int f''(x)g(x)&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-\epsilon }^{\epsilon }f''(x)g(x)+\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)-g(-x)}{x}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left({\frac {g(\epsilon )-g(-\epsilon )}{2\epsilon }}2\epsilon \ln |\epsilon |-\left(g'(\epsilon )+g'(-\epsilon )\right)\epsilon (\ln |\epsilon |-1)+\int _{-\epsilon }^{\epsilon }x(\ln |x|-1)g''(x)+\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)-g(-x)}{x}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)-g(-x)}{x}}\\&=\operatorname {pv} \int {\frac {g(x)}{x}}\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle f'''(x)=-\operatorname {fp} 1/x^{2}}$는 다음과 같다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {fp} }$는 아다마르 유한 성분(프랑스어: partie finie)이다.)

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\int f'''(x)g(x)&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-\epsilon }^{\epsilon }f'''(x)g(x)-\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+g(-x)}{x^{2}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left([f''(x)g(x)]_{-\epsilon }^{\epsilon }-[f'(x)g'(x)]_{-\epsilon }^{\epsilon }+[f(x)g''(x)]_{-\epsilon }^{\epsilon }-\int _{-\epsilon }^{\epsilon }f(x)g'''(x)-\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+g(-x)}{x^{2}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left({\frac {g(\epsilon )+g(-\epsilon )}{\epsilon }}+0+0+0-\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+g(-x)}{x^{2}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(2g(0)/\epsilon +0+0+0-\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+g(-x)}{x^{2}}}\right)\\&=-\operatorname {pf} \int {\frac {g(x)}{x^{2}}}\end{aligned}}}$

• 보다 일반적으로, ${\displaystyle f^{(n)}=(-1)^{n}\operatorname {pf} x^{1-n}}$는 다음과 같다.

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\int f^{(n)}(x)g(x)&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-\epsilon }^{\epsilon }f^{(n)}(x)g(x)+\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+(-1)^{n-1}g(-x)}{x^{n-1}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(\sum _{i=0}^{n-1}(-)^{i}[f^{(n-1-i)}g^{(i)}]_{-\epsilon }^{\epsilon }+(-1)^{n}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }f(x)g^{(n)}(x)+\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+(-1)^{n-1}g(-x)}{x^{n-1}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(2\sum _{j=0}^{\lfloor (n-3)/2\rfloor }\epsilon ^{-2j-1}g^{(n-2j-3)}(0)\sum _{k=0}^{n-2j-3}{\frac {1}{k!}}+\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}g(x)-g(-x)}{x^{n-1}}}\right)\\\end{aligned}}}$

관련 개념

사토 초함수(영어: Sato hyperfunction)는 분포와 유사하지만, 정칙 함수를 기반으로 하는 이론이다.

콜롱보 대수(영어: Colombeau algebra)는 분포와 달리 곱셈이 정의되는 일반화 함수 이론이다. 콜롱보 대수의 원소는 분포로 수렴하는 함수열로 구성되는데, 콜롱보 대수에서의 곱셈은 일반적으로 함수열에 의존한다.

흐름(영어: current)은 분포의 개념을 미분 형식으로 일반화한 것이며, 조르주 드 람이 도입하였다. ${\displaystyle n}$차원 유클리드 공간에서 ${\displaystyle n}$차 흐름과 분포는 일치하지만, 임의의 매끄러운 다양체에서는 이는 성립하지 않는다.

응용

모든 적분 가능한 함수는 분포들의 공간에서 미분을 가지며, 이를 이용해 편미분 방정식의 해를 구할 수 있다. 물리학이나 공학에서 나타나는 비연속적인 문제들을 미분 방정식으로 나타나면 이는 분포를 해로 갖는 경우가 많으며, 대표적인 예로 디랙 델타 분포가 있다.

역사

편미분 방정식의 이론이 발달하면서, 1830년대에 발명된 그린 함수와 같은 개념을 엄밀히 정의할 필요가 대두되었다. 세르게이 리보비치 소볼레프는 1936년에 2차 쌍곡 편미분 방정식을 다루는 데 분포의 개념을 사용하였다.^[4] 이후 1950년에 로랑 슈바르츠는 분포의 이론을 체계적으로 엄밀히 개발하였고, 또 "분포"(프랑스어: distribution 디스트리뷔시옹^[*])라는 용어를 고안하였다.^[5][6] 1954년에 슈바르츠는 일반적으로 두 분포의 곱을 정의할 수 없음을 증명하였다.^[2]

각주

1. “초함수 (distribution, generalized function )”. 《과학백과》. 북한과학기술네트워크. ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}
2. Schwartz, L. (1954). “Sur l’impossibilité de la multiplication des distributions”. 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) 239: 847–848. Zbl 0056.10602. 
3. Brouder, Christian; Nguyen Viet Dang; Hélein, Frédéric (2014년 11월 7일). “A smooth introduction to the wavefront set”. 《Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical》 (영어) 47 (44): 443001. arXiv:1404.1778. doi:10.1088/1751-8113/47/44/443001. 
4. Soboleff, S. (1936), “Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales”, 《Математический сборник》 (프랑스어) 1 (1): 39–72, JFM 62.0568.01, Zbl 0014.05902 
5. Schwartz, Laurent (1950). 《Théorie des distributions. Tome 1》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 1091. 파리: Hermann et Compagnie. Zbl 0037.07301. 
6. Schwartz, Laurent (1951). 《Théorie des distributions. Tome 2》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 1122. 파리: Hermann et Compagnie. Zbl 0042.11405. 

• Vladimirov, Vasily S. (2002년 8월 15일). 《Methods of the theory of generalized functions》. Analytical Methods and Special Functions (영어). Taylor & Francis. ISBN 978-0-415-27356-5. 
• Strichartz, Robert S. (2003년 6월). 《A guide to distribution theory and Fourier transforms》 (영어) 2판. World Scientific. doi:10.1142/5314. ISBN 978-981-238-421-8. Zbl 1029.46039. 
• Trèves, François (1967). 《Topological vector spaces, distributions and kernels》. Pure and Applied Mathematics (영어) 25. Academic Press. Zbl 0171.10402. 

외부 링크

• “Generalized function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Generalized functions, space of”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Generalized function, derivative of a”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Generalized functions, product of”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Generalized function algebras”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Multiplication of distributions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Generalized function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Singular support”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Distribution”. 《nLab》 (영어). 
• Tao, Terry. “Distributions” (PDF) (영어). 
• “What examples of distributions should I keep in mind?” (영어). Math Overflow. 
• “When can a function be recovered from a distribution?” (영어). Math Overflow. 

같이 보기

• 파면 집합
• 디랙 델타 분포
• 조절 분포
• 측도