분리 사상

대수기하학에서 분리 사상(分離寫像, 영어: separated morphism, 프랑스어: morphisme séparé)은 스킴 사이의 사상의 일종이다. 정수환의 스펙트럼으로 가는 유일한 사상이 분리 사상인 스킴을 분리 스킴(分離scheme, 영어: separated scheme, 프랑스어: schéma séparé)이라고 한다. 스킴이 분리 스킴인 것은 위상 공간이 하우스도르프 공간인 것과 유사한 조건이다.^[1]:95

정의

스킴의 범주는 모든 올곱을 갖는다. 임의의 스킴 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여 올곱 ${\displaystyle X\times _{Y}X}$을 취할 수 있으며, 대각 사상 ${\displaystyle \operatorname {diag} _{f}\colon X\to X\times _{Y}X}$이 항상 보편 성질에 의하여 존재한다.

스킴 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이 다음 조건을 만족시킨다면, 준분리 사상(準分離寫像, 영어: quasiseparated morphism)이라고 한다.

• 대각 사상 ${\displaystyle \operatorname {diag} _{f}\colon X\to X\times _{Y}X}$은 준콤팩트 함수이다.

준분리 스킴(準分離scheme, 영어: quasiseparated scheme)은 ${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$가 준분리 사상인 스킴 ${\displaystyle X}$이다.

스킴 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 사상을 분리 사상이라고 한다.

• 대각 사상 ${\displaystyle \operatorname {diag} _{f}\colon X\to X\times _{Y}X}$의 상이 닫힌집합이다.^{[1]:96, Corollary II.4.2}
• 대각 사상 ${\displaystyle \operatorname {diag} _{f}\colon X\to X\times _{Y}X}$이 닫힌 몰입이다.^[1]:96
• (값매김 조건 영어: valuative criterion)^{[2]:142, Proposition 7.2.3} 준분리 사상이며, 임의의 값매김환 ${\displaystyle R}$ 및 표준적 포함 사상 ${\displaystyle i\colon \operatorname {Spec} \operatorname {Frac} R\to \operatorname {Spec} R}$에 대하여, 오른쪽 올림이 만약 존재한다면 유일하다. 즉, 임의의 값매김환 ${\displaystyle R}$ 및 임의의 사상 ${\displaystyle x\colon \operatorname {Spec} R\to X}$ 및 임의의 사상 ${\displaystyle {\bar {y}}\colon \operatorname {Spec} R\to X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\bar {y}}\circ i=f\circ x}$라면, ${\displaystyle x={\bar {x}}\circ i}$인 사상 ${\displaystyle {\bar {x}}\colon \operatorname {Spec} R\to X}$는 만약 존재한다면 유일하다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} \operatorname {Frac} R&{\xrightarrow {x}}&X\\{\scriptstyle i}\downarrow &\nearrow {\scriptstyle {\bar {x}}}&\downarrow \scriptstyle f\\\operatorname {Spec} R&{\xrightarrow[{\bar {y}}]{}}&Y\end{matrix}}}$

분리 스킴은 ${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$가 분리 사상인 스킴 ${\displaystyle X}$이다.^[1]:96

뇌터 스킴의 값매김 조건

만약 ${\displaystyle Y}$가 국소 뇌터 스킴이며, ${\displaystyle f}$가 국소 유한형 사상이라면, 값매김 조건에서 "모든 값매김환 ${\displaystyle R}$ …"를 "모든 이산 값매김환 ${\displaystyle R}$ …"로 약화시킬 수 있다.^{[2]:142, Proposition 7.2.3[1]:97, Theorem II.4.3} 국소 뇌터 스킴을 정의역으로 하는 모든 스킴 사상은 준분리 사상이므로, 만약 ${\displaystyle X}$ 또한 국소 뇌터 스킴이라고 가정한다면 "${\displaystyle f}$는 준분리 사상이며, …" 역시 생략할 수 있다.

분리 사상의 값매김 조건에서 "존재한다면 유일하다"를 "유일하게 존재한다"로 바꾸면, 고유 사상의 값매김 조건을 얻는다.

성질

임의의 두 아핀 스킴 사이의 사상은 분리 사상이다.^{[1]:96, Proposition II.4.1} 특히, 모든 아핀 스킴은 분리 스킴이다. 이 경우, 대각 사상

${\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \operatorname {Spec} R\times \operatorname {Spec} R}$

은 자연스러운 환 준동형 사상

${\displaystyle \phi \colon R\otimes R\to R}$

${\displaystyle \sum _{i}r_{i}\otimes s_{i}\mapsto \sum _{i}r_{i}s_{i}}$

이다. 이는 항상 전사 준동형임을 알 수 있다.

모든 분리 스킴은 준분리 스킴이다.

예

모든 대수다양체는 분리 스킴이다.

체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 두 개의 아핀 직선 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$을, 0을 제외한 열린 집합 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}\setminus \{0\}}$에서 이어붙여, 원점이 두 개가 있는 아핀 직선을 만들 수 있는데, 이는 분리 스킴이 아니다.^{[1]:75–76, Example II.2.3.6; 96, Example II.4.0.1}

역사

원래 그로텐디크는 《대수기하학 원론》 1권 초판^[3]에서 오늘날 "스킴"이라고 불리는 개념을 "준스킴"(영어: prescheme, 프랑스어: préschéma)라고 불렀고, 오직 분리 "준스킴"만을 "스킴"이라고 불렀다. 그러나 2판^[4]에서는 제약 없이 모든 준스킴을 스킴이라고 불렀고, 현재는 이 용어가 통용되고 있다.^[1]:xv

같이 보기

• 고유 사상

각주

1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
2. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). “Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 8. doi:10.1007/bf02699291. ISSN 0073-8301. MR 0217084. 2017년 1월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 2월 26일에 확인함. 
3. Grothendieck, Alexander; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 4 (1): 5–214. doi:10.1007/BF02684778. ISSN 0073-8301. MR 0217083. Zbl 0118.36206. 
4. Grothendieck, Alexander; Dieudonné, Jean (1971). 《Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (프랑스어) 166 2판. Springer. ISBN 978-3-540-05113-8. Zbl 0203.23301. 

외부 링크

• “Scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Separated morphism of schemes”. 《nLab》 (영어). 
• “Valuative criterion of separatedness”. 《nLab》 (영어). 
• “Quasi-separated morphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Semiseparated scheme”. 《nLab》 (영어). 
• “Separated schemes” (영어). Math Overflow. 
• “Non-quasi-separated morphisms” (영어). Math Overflow.