반대각 행렬

반대각 행렬(antidiagonal matrix) 또는 역 대각 행렬은 왼쪽에서 오른쪽으로 내려가는 주대각선의 방향이 반대인 왼쪽에서 오른쪽으로 올라가는 방향의 반대각선을 갖는 행렬이다.

일반적인 주대각선과 반대각선의 행렬

반대각 행렬

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\color {red}{a}\\0&\color {red}{a}&0\\\color {red}{a}&0&0\end{bmatrix}}}$

일반적인 주대각선의 대각행렬

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}{a}&0&0\\0&\color {red}{a}&0\\0&0&\color {red}{a}\end{bmatrix}}}$

주대각선과 반대각선의 표현

${\displaystyle n\times n\;\;matrix}$에서,

• 주대각선의 표현

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\color {red}{x_{ij}}&x_{ij}&x_{ij}\\x_{ij}&\color {red}{x_{ij}}&x_{ij}\\x_{ij}&x_{ij}&\color {red}{x_{ij}}\end{pmatrix}}\qquad }$을 예약하고,

${\displaystyle i}$는 행 그리고 ${\displaystyle j}$는 열

주 대각선 ${\displaystyle =x_{ij}=x_{nn}\quad ,\;\;i=j=n}$

• 반대각선의 표현

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{ij}&x_{ij}&\color {red}{x_{ij}}\\x_{ij}&\color {red}{x_{ij}}&x_{ij}\\\color {red}{x_{ij}}&x_{ij}&x_{ij}\end{pmatrix}}\qquad }$

반대각선 ${\displaystyle =x_{(i)((n+1)-i)}\quad i=>1}$

반대각선의 멱 성질

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\qquad }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

• 반대각선 행렬간에는 교환법칙이 성립한다.

단위행렬

단위 행렬${\displaystyle I}$로부터,

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$를 예약하고,

단위 행렬의 ${\displaystyle 1}$ 행과${\displaystyle 3}$행을 재배열하면,

${\displaystyle I^{a}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}}$

이것은 반대각행렬이면서, 순열행렬이다.

같이 보기

• 순열 행렬
• 교환 행렬

참고

• 플래닛매스