반대각선

선형대수학 또는 행렬론에서 반대각선(Skew Diagonal,사선 대각선)은 행렬을 구성하는 성분들중 행렬상 위치적으로 오른쪽 위에서 왼쪽아래로 내려가는 사선을 이루는 성분들을 가리킨다.^[1]

${\displaystyle {\cancel {\begin{pmatrix}{\qquad }&&&\\&&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix}}}}$

중심축과 중심점

일반적으로 행렬의 대각선이라함은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려오는 사선을 관습적으로 가리킨다.^[2]

${\displaystyle \left(\;{\Bigg \backslash }\;\right)}$

이것의 대표적인 예가 주대각선이다.

그러나 반대각선은 이와는 정반대의 사선을 이루는 것으로 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 올라가는 반대 사선을 가리킨다.

${\displaystyle {\cancel {\begin{pmatrix}0&0&0&a\\0&0&a&0\\0&a&0&0\\a&0&0&0\end{pmatrix}}}}$

이처럼 대각선과 반대각선을 갖는 행렬의 구조적 성질은 이들이 교차하는 중심점과 이들이 대칭되는 중심축을 예상할 수 있게 정보를 제공하여준다.^[3]

예

교환행렬의 반대각선인 주 대각선

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$

반대각 대칭행렬의 반대각선인 주대각선

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{41}&a_{42}&a_{32}&a_{22}&a_{12}\\a_{51}&a_{41}&a_{31}&a_{21}&a_{11}\end{pmatrix}}}$

한켈 행렬의 반대각선들인 주대각선과 대각선들

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{pmatrix}}}$

반대칭행렬의 특수한 경우인 사선 에르미트행렬

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-i&2+i\\-(2-i)&0\end{pmatrix}}}$

같이 보기

• 대각행렬
• 반 대각행렬
• 중심 대칭행렬

각주

1. 매스월드
2. 매스월드
3. CENTROSYMMETRIC MATRICES: PROPERTIES AND AN ALTERNATIVE APPROACH , IYAD T. ABU-JEIB Archived 2017년 3월 29일 - 웨이백 머신 (CANADIAN APPLIED MATHEMATICS QUARTERLY - Volume 10, Number 4, Winter 2002)(Department of Mathematics and Computer Science, SUNY College at Fredonia, Fredonia, NY 14063, USA)

• 매스월드