디랙 괄호

해밀턴 역학에서 디랙 괄호(영어: Dirac bracket)는 해밀토니언과 가환하지 않는 구속이 가해진 고전적 계에서 시간 변화를 나타내는 괄호다. 폴 디랙이 도입하였다.^[1][2]

정의

구속된 해밀턴 계

해밀턴 계 ${\displaystyle (M,\omega ,H)}$가 주어졌다고 하자. 여기서 심플렉틱 다양체 ${\displaystyle (M,\omega )}$는 계의 위상 공간이고, ${\displaystyle H}$는 계의 해밀토니언이다. ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 함수들의 대수를 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$이라고 하자. 심플렉틱 구조에 의하여, 푸아송 괄호

${\displaystyle \{f,g\}=(\omega ^{-1})^{\mu \nu }\partial _{\mu }f\partial _{\nu }g}$

가 존재한다.

이 계 위에 주어진 구속(영어: constraint) ${\displaystyle \Phi \subset {\mathcal {C}}^{\infty }}$는 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 함수들의 집합이다.

• ${\displaystyle \Phi }$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$의 아이디얼이자, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$에 대한 자유 가군이다. 즉,
  • 임의의 함수 ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ 및 제약 ${\displaystyle \phi \in \Phi }$에 대하여, ${\displaystyle f\phi ^{i}\in \Phi }$이다.
  • 임의의 ${\displaystyle \phi ,\phi '\in \Phi }$에 대하여, ${\displaystyle \phi +\phi '\in \Phi }$이다.
  • ${\displaystyle \Phi }$의 기저 ${\displaystyle \{\phi ^{i}\}_{i\in I}\subset \Phi }$가 존재한다. 즉, 임의의 ${\displaystyle \phi \in \Phi }$를 ${\displaystyle \phi =u_{i}\phi ^{i}}$ (${\displaystyle u_{i}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$)의 꼴로 나타낼 수 있다.
• (일관성) 쌍대가군 ${\displaystyle \Phi ^{*}=\hom(\Phi ,{\mathcal {C}}^{\infty }(M))}$의 원소 ${\displaystyle u\in \Phi ^{*}}$가 존재하여, 다음을 만족시킨다.${\displaystyle (\{\phi ,H\}+u_{i}\{\phi ,\phi ^{i}\})|_{\tilde {M}}=0\forall \phi \in \Phi }$

여기서, ${\displaystyle {\tilde {M}}}$은 구속된 상태 공간 ${\displaystyle {\tilde {M}}\subset M}$으로, 다음과 같다.

${\displaystyle {\tilde {M}}=\{x\in M|\phi ^{i}(x)=0\forall \phi \in \Phi \}}$

즉, 모든 구속들을 만족시키는 상태들의 집합이다.

1종 및 2종 구속

1종 구속(영어: first-class constraint)의 집합 ${\displaystyle \Phi _{1}\subset \Phi }$은 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi _{1}=\{\phi _{1}\in \Phi \colon \{\phi _{1},\Phi \}|_{\tilde {M}}=0\}}$

모든 1종 구속은 일관성 조건에 따라서 해밀토니언과 가환한다.

${\displaystyle \{\Phi _{1},H\}=0}$

또한, 1종 구속들의 집합 ${\displaystyle \Phi _{1}}$ 역시 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$의 아이디얼이자, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$-가군을 이룬다. 즉, 임의의 함수 ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$와 1종 제약 ${\displaystyle \phi _{1}\in \Phi _{1}}$에 대하여, ${\displaystyle f\phi _{1}\in \Phi _{1}}$이다. 이에 따라서, 구속들의 가군을 다음과 같이 분해할 수 있다. 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to \Phi _{1}\hookrightarrow \Phi \twoheadrightarrow \Phi _{2}\to 0}$

은 분할 완전열이며, 따라서 ${\displaystyle \Phi }$를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \Phi \cong \Phi _{1}\oplus \Phi _{2}}$

물론 이러한 갈림은 표준적으로(canonical) 정의되지 않지만, 임의로 정의할 수 있다. ${\displaystyle \Phi _{2}\cong \Phi /\Phi _{1}}$을 2종 구속(영어: second-class constraint)들의 집합이라고 한다. 1종 제약은 자유 가군의 부분가군이므로 사영 가군(벡터다발)이다.

디랙 괄호

2차 구속 ${\displaystyle \Phi _{2}}$의 기저를 ${\displaystyle \{\phi _{2}^{i}\}_{i\in I}}$로 잡자. 그렇다면 행렬 ${\displaystyle C_{ij}}$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle \{\phi _{2}^{i},\phi _{2}^{j}\}C_{jk}=\delta _{i}^{k}}$

이 경우, 디랙 괄호 ${\displaystyle \{,\}_{\text{D}}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}-\{f,\phi _{2}^{i}\}C_{ij}\{\phi _{2}^{j},g\}}$

제약된 해밀턴 계 ${\displaystyle (M,\omega ,H,\Phi )}$에서의 시간 변화는 다음과 같이 정의한다. 임의의 함수 ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$의 시간 변화 ${\displaystyle {\dot {f}}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle {\dot {f}}=\{f,H\}_{\text{D}}}$

이 정의에 따라서, 구속을 만족시키는 초기 조건의 시간 변화는 계속해서 제약을 만족시킨다.

${\displaystyle \{\phi ,H\}_{\text{D}}|_{\tilde {M}}=0\forall \phi \in \Phi }$

즉, 임의의 2종 구속 ${\displaystyle \phi _{2}^{i}}$의 경우

${\displaystyle \{\phi _{2}^{i},H\}_{\text{D}}=0}$

이고, 임의의 1종 구속 ${\displaystyle \phi _{1}^{i}}$의 경우

${\displaystyle \{\phi _{1}^{i},H\}_{\text{D}}=\{\phi _{1}^{1},H\}=0}$

이다. 디랙 괄호는 일반적으로 기저 변환에 따라 바뀌지만, ${\displaystyle {\tilde {M}}}$에 국한하면 유일하다.

예

강한 자기장에서의 비가환 기하학

심플렉틱 다양체 ${\displaystyle (M,\omega )}$ 위에, 전하 ${\displaystyle q}$의 입자가 자기장 ${\displaystyle B_{\mu \nu }=B\omega _{\mu \nu }}$와 위치 에너지 ${\displaystyle V\colon M\to \mathbb {R} }$에 영향을 받는다고 하자.^[3][4] 또한, 자기장이 매우 강해 그 운동 에너지가 자기장에 의한 위치 에너지보다 매우 작다고 하자. 그렇다면 운동 에너지 항을 생략한 라그랑지언은 다음과 같다.

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})=qA_{\mu }{\dot {x}}^{\mu }-V(x)}$

여기서 ${\displaystyle A_{\mu }}$는 자기 퍼텐셜로,

${\displaystyle (dA)_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }=B\omega _{\mu \nu }}$

를 만족시킨다. 편의상

${\displaystyle A_{\nu }={\frac {1}{2}}Bx^{\mu }\omega _{\mu \nu }}$

으로 놓을 수 있다. 즉,

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})={\frac {1}{2}}qBx^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\omega _{\mu \nu }-V(x)}$

이다.

이 경우, 정준 운동량은 다음과 같다.

${\displaystyle p_{\nu }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{\nu }}}={\frac {1}{2}}qBx^{\mu }\omega _{\mu \nu }}$

즉, 해밀토니언은 다음과 같다.

${\displaystyle H=p_{\mu }{\dot {x}}^{\mu }-L=V(x)}$

또한, 정준 운동량들은 시간 도함수 ${\displaystyle {\dot {x}}}$, ${\displaystyle {\dot {y}}}$를 포함하지 않으므로, 다음과 같은 제약들이 존재한다.

${\displaystyle \phi _{\nu }=p_{\nu }-{\frac {1}{2}}qBx^{\mu }\omega _{\mu \nu }=0}$

이 경우, 두 구속들의 푸아송 괄호는 다음과 같다.

${\displaystyle \{\phi _{\mu },\phi _{\nu }\}=qB\omega _{\mu \nu }}$

이는 가역행렬이므로 이들은 둘 다 2종 구속들이며, 일관적이다. 따라서 디랙 괄호는 다음과 같다.

${\displaystyle \{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}+{\frac {1}{qB}}\{f,\phi _{\mu }\}\omega ^{\mu \nu }\{\phi _{\nu },g\}}$

특히,

${\displaystyle \{x^{\mu },x^{\mu }\}_{\text{D}}=-\omega ^{\mu \nu }/(qB)}$

이므로, 이를 양자화하면

${\displaystyle [x^{\mu },x^{\nu }]=-i\hbar \omega ^{\mu \nu }/(qB)}$

이다. 즉, 비가환 기하학을 얻는다.

이 경우에는 제약에 따라 물리적 공간 ${\displaystyle M}$ 자체가 사실상 위상 공간이 된다. 이 경우에는 퍼텐셜 ${\displaystyle A_{\mu }}$가 대역적으로(global) 존재하므로, 심플렉틱 구조 ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$의 코호몰로지류 ${\displaystyle [\omega ]\in H^{2}(M;\mathbb {R} )}$가 0이다. 따라서, 기하학적 양자화를 따르는 경우에는 유일한 준양자 구조가 존재한다. 만약 물리적 공간의 리만 계량 ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$가 심플렉틱 구조 ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$와 호환된다면, 이 구조는 (거의) 켈러 구조를 이뤄 기하학적 양자화가 가능하다. 물론, 퍼텐셜 ${\displaystyle V(x)}$의 경우 순서가 모호하게 된다.

부분다양체에 구속된 입자

리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$ 위에 존재하는, 질량 ${\displaystyle m}$의 입자가 위치 에너지 ${\displaystyle V(\mathbf {x} )}$의 영향을 받고, 또한 어떤 함수 ${\displaystyle C\colon M\to \mathbb {R} }$의 영집합 ${\displaystyle C^{-1}(0)\subset M}$에 구속되었다고 하자.^[5] 이 경우, 임의의 ${\displaystyle x\in M}$에 대하여 다음과 같은 해밀토니언을 적을 수 있다.

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}g^{\mu \nu }p_{\mu }p_{\nu }+V(x)}$

물론 이 경우 다음과 같은 구속을 가해야 한다.

${\displaystyle \phi ^{1}=C(x)=0}$

${\displaystyle \phi ^{2}=g^{\mu \nu }p_{\mu }\partial _{\nu }C(x)=0}$

이 경우,

${\displaystyle \{\phi ^{1},\phi ^{2}\}=g^{\mu \nu }\partial _{\mu }C\partial _{\nu }C=(\partial C)^{2}}$

이다. 따라서, 만약 ${\displaystyle C^{-1}(0)}$에서 ${\displaystyle \partial C\neq 0}$이라면, ${\displaystyle \phi ^{1}}$과 ${\displaystyle \phi ^{2}}$ 둘 다 2종 구속이다. (이 조건이 충족되면, 음함수 정리에 의하여 ${\displaystyle C^{-1}(0)}$이 매끄러운 부분다양체를 이루게 된다.)

이 경우, 디랙 괄호는 다음과 같다.

${\displaystyle \{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}+(\partial C)^{-2}\{f,\phi ^{i}\}\epsilon _{ij}\{\phi ^{j},g\}}$

예를 들어,

${\displaystyle \{x^{\mu },x^{\nu }\}_{\text{D}}=0}$

${\displaystyle \{x^{\mu },p_{\nu }\}_{\text{D}}=\delta _{\nu }^{\mu }-(\partial C)^{-2}\partial ^{\mu }C\partial _{\nu }C}$

${\displaystyle \{p_{\mu },p_{\nu }\}_{\text{D}}=(\partial C)^{-2}p^{\rho }\left((\nabla _{\rho }\partial _{\mu }C)(\partial _{\nu }C)-(\partial _{\mu }C)(\nabla _{\rho }\partial _{\nu }C)\right)}$

가 된다.

같이 보기

• 해밀턴 역학
• 푸아송 괄호
• 라그랑지언

참고 문헌

• Mukunda, N.; E. C. G. Sudarshan (1968년 3월). “Structure of the Dirac bracket in classical mechanics” (PDF). 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 9 (3): 411–417. Bibcode:1968JMP.....9..411M. doi:10.1063/1.1664594. 2012년 8월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 10월 10일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Wipf, Andreas W. (1994). 〈Hamilton’s formalism for systems with constraints〉. 《Canonical Gravity: From Classical to Quantum. Proceedings of the 117th WE Heraeus Seminar Held at Bad Honnef, Germany, 13–17 September 1993》. Lecture Notes in Physics (영어) 434. 22–58쪽. arXiv:hep-th/9312078. Bibcode:1994LNP...434...22W. doi:10.1007/3-540-58339-4_14. ISBN 978-3-540-58339-4. 
• Salisbury, D. C. “Peter Bergmann and the invention of constrained Hamiltonian dynamics” (영어). arXiv:physics/0608067. Bibcode:2006physics...8067S. 

각주

1. Dirac, P. A. M. (1950년 2월). “Generalized Hamiltonian dynamics”. 《Canadian Journal of Mathematics》 (영어) 2: 129–148. doi:10.4153/CJM-1950-012-1. MR 0043724. Zbl 0036.14104. 
2. Dirac, P. A. M. (1964). 《Lectures on quantum mechanics》. Belfer Graduate School of Science Monographs (영어) 2. Belfer Graduate School of Science, New York. ISBN 9780486417134. MR 2220894. 
3. Dunne, Gerald V.; R. Jackiw, So-Young Pi, Carlo A. Trugenberger (1991). “Self-dual Chern–Simons solitons and two-dimensional nonlinear equations”. 《Physical Review D》 (영어) 43 (4): 1332–1345. doi:10.1103/PhysRevD.43.1332.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
4. Bigatti, Daniela; Leonard Susskind (2000년 9월 15일). “Magnetic fields, branes and noncommutative geometry”. 《Physical Review D》 (영어) 62 (6): 066004. arXiv:hep-th/9908056. Bibcode:2000PhRvD..62f6004B. doi:10.1103/PhysRevD.62.066004.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
5. (영어). doi:10.1016/0370-2693(79)90465-9.  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)