단사 사상

이 문서는 일반적인 범주에서의 단사 사상에 관한 것입니다. 집합 사이의 단사 사상에 대해서는 단사 함수 문서를 참고하십시오.

범주론에서 단사 사상(單射寫像, 영어: monomorphism)은 두 사상의 등식에서 왼쪽에 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 사상이다. 전사 사상의 반대 개념이다.

정의

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 다음 조건을 만족시키면, 단사 사상이라고 한다.

• 임의의 대상 ${\displaystyle Z}$ 및 사상 ${\displaystyle g_{1},g_{2}\colon Z\to X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}}$라면 ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$이다.

  ${\displaystyle Z{\overset {g_{1}}{\underset {g_{2}}{{}\rightrightarrows {}}}}X\xrightarrow {f} Y}$

정규 단사 사상

 이 부분의 본문은 핵 (수학)입니다.

영 사상을 갖는 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서, 어떤 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$의 핵 ${\displaystyle \ker f\colon K\to X}$으로 나타내어질 수 있는 사상을 정규 단사 사상이라고 한다. 정규 단사 사상은 항상 단사 사상이다. 이 개념은 군론에서의 정규 부분군의 개념의 일반화이다.

강한 단사 사상

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서, 강한 단사 사상(強-單射寫像, 영어: strong monomorphism)은 모든 전사 사상에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 단사 사상이다. 즉, 단사 사상 ${\displaystyle i\colon A\to B}$가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 단사 사상이라고 한다.

임의의 가환 사각형

${\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {\pi }}&Y\\\downarrow &&\downarrow \\A&{\xrightarrow[{i}]{}}&B\end{matrix}}}$

에서 ${\displaystyle \pi }$가 전사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상 ${\displaystyle Y\to A}$가 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {\pi }}&Y\\\downarrow &{\scriptstyle \exists !}\swarrow &\downarrow \\A&{\xrightarrow[{i}]{}}&B\end{matrix}}}$

극단 단사 사상

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 단사 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 다음 조건을 만족시키면, 극단 단사 사상(極端單射寫像, 영어: extremal monomorphism)이라고 한다.

• 임의의 대상 ${\displaystyle Z}$ 및 전사 사상 ${\displaystyle g\colon X\to Z}$ 및 사상 ${\displaystyle h\colon Z\to Y}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f=h\circ g}$라면 ${\displaystyle g}$는 동형 사상이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}X\\{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow \scriptstyle f\\Z&{\xrightarrow[{h}]{}}&Y\end{matrix}}}$

성질

함의 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상

동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상

동형 사상 = 단사 사상 ∩ 극단 전사 사상 = 전사 사상 ∩ 극단 단사 사상

분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 그 왼쪽 역사상 ${\displaystyle r\colon Y\to X}$이 주어졌을 때 ${\displaystyle f=\operatorname {eq} \{f\circ r,\operatorname {id} _{Y}\}}$이기 때문이다.

연산에 대한 닫힘

단사 사상의 합성은 단사 사상이다. 극단 단사 사상의 합성은 극단 단사 사상일 필요가 없다. 예를 들어, 다음과 같은 그림으로 나타낸 범주를 생각하자.

${\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {f} &B&{\overset {g}{\rightrightarrows }}&C&\rightrightarrows &D\\&\searrow &&\nearrow \\&&E\end{matrix}}}$

이 범주에서 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$는 극단 단사 사상이지만, ${\displaystyle g\circ f}$는 극단 단사 사상이 아니다.

단사 사상은 당김의 특수한 경우이므로, 당김을 보존하는 함자에 대한 상에 의하여 보존된다. 단사 사상은 충실한 함자에 대한 원상에 의하여 보존된다.

요네다 매장

요네다 매장을 통하여, 단사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$는 단사 사상이다.
• 임의의 대상 ${\displaystyle Z}$에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 ${\displaystyle (f\circ )\colon \hom _{\mathcal {C}}(Z,X)\to \hom _{\mathcal {C}}(Z,Y)}$는 단사 함수이다.
• 준층 토포스 ${\displaystyle \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})}$로 가는 요네다 매장 함자 ${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})}$아래서, ${\displaystyle f}$의 상 ${\displaystyle (f\circ )\colon \hom _{\mathcal {C}}(-,X)\to \hom _{\mathcal {C}}(-,Y)}$은 준층 토포스에서의 단사 사상이다.

반대 범주

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 단사 사상은 그 반대 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$의 전사 사상이다.

예

구체적 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }$에서, 함수로서 단사 함수인 사상은 단사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 만약 자유 대상이 존재한다면, 즉 망각 함자 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }$의 왼쪽 수반 함자 ${\displaystyle \operatorname {Set} \to {\mathcal {C}}}$가 존재한다면, 그 역 또한 성립한다. 특히, 대수 구조 다양체의 범주의 경우, 항상 자유 대수 구조가 존재하므로 모든 단사 사상은 단사 함수이다.

여러 구체적 범주에서, 단사 사상들은 단사 함수인 준동형이다.

• 군의 범주에서, 단사 사상은 단사 함수인 군 준동형이다.
• 환의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ring} }$에서, 단사 사상은 단사 함수인 환 준동형이다.

그러나 이는 항상 성립하지 않는다.

• 나눗셈군과 군 준동형의 범주에서, 몫군 사상 ${\displaystyle \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$는 단사 함수가 아니지만 단사 사상이다.

체의 범주에서는 모든 사상(체의 확대)이 단사 사상이다.

집합의 범주

집합과 함수의 토포스에서는 다음이 성립한다.

• 단사 사상은 단사 함수이다.
• 단사 사상 · 정칙 단사 사상 · 유효 단사 사상의 개념이 일치한다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

군의 범주

군과 군 준동형의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$에서는 다음이 성립한다.

• 단사 사상은 단사 함수인 군 준동형이다.
• 정규 단사 사상은 정규 부분군의 포함 준동형이다.
• 단사 사상 · 정칙 단사 사상 · 유효 단사 사상의 개념이 일치한다.

벡터 공간의 범주

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간과 선형 변환의 아벨 범주 ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{K}}$에서는 다음이 성립한다.

• 단사 사상은 단사 함수인 선형 변환이다.
• 단사 사상 · 정규 단사 사상 · 정칙 단사 사상 · 유효 단사 사상의 개념이 일치한다.

위상 공간의 범주

위상 공간과 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$에서는 다음이 성립한다.

• 단사 사상은 단사 함수인 연속 함수이다.
• 정칙 단사 사상은 위상 공간의 매장이다. 즉, 정의역과 치역 사이의 위상 동형을 정의하는 단사 연속 함수이다. 모든 유효 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

같이 보기

• 매장 (수학)
• 부분 대상과 몫 대상

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. 

외부 링크

• “Monomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Normal monomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Monomorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Normal monomorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Strong monomorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Extremal monomorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Why the underlying function of a monomorphism may not be an injection” (영어). Math Overflow. 2015년 2월 20일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 20일에 확인함. 
• Yuan, Qiaochu (2012년 9월 29일). “Monomorphisms and epimorphisms”. 《Annoying Precision》 (영어). 2015년 9월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 4일에 확인함.