ℓ進層

代数幾何学において、ℓ 進層とは、ℓ 進数体 Q_ℓ のようなねじれのない係数に対してエタール・コホモロジーの理論を適切に拡張するために用いられる概念である。 アレクサンドル・グロタンディークにより SGA 5 において導入され^[1]、その後ピエール・ドリーニュ ^[2] 、ウーヴェ・ヤンセン（英語版）^[3] 、トルステン・エケダール^[4] などにより理論が整備された^[5]。

バルガフ・バット（英語版）とペーター・ショルツェはプロエタール位相を用いて ℓ 進層の理論に新たなアプローチを与えた^[6]。

動機

エタール・コホモロジーは、代数多様体に対する「位相的な」コホモロジー論、すなわち任意の標数で機能するようなヴェイユ・コホモロジー論を構築する目的で発展した。 そのような理論に不可欠な特徴は、標数 0 の体を係数にもつことである。 しかし、ねじれのないエタール定数層のコホモロジーは興味深い情報を含まない。 例えば、X が体 k 上の滑らかな代数多様体のとき、任意の正の整数 i に対して Hⁱ(X_ét, Q) = 0 である^[7]。 一方、定数層 Z/m は、体 k において m が可逆である限り、「正しい」コホモロジーを与える。 そのため、体 k で可逆であるような素数 ℓ に対し、X の ℓ 進コホモロジーを

${\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell }):=\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n})}$,

${\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Q} _{\ell }):=(\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }}$

と定義する。

しかし、この定義は完全に満足のできるものではない。 位相空間に対する古典的な理論のように、Q_ℓ ベクトル空間の局所系（英語版）を係数にもつコホモロジーを考えたい。 また、そのような局所系のなす圏とエタール基本群の Q_ℓ 上の連続表現のなす圏の間に圏同値が存在するべきである。

上の定義の別の問題点は、k が分離閉体のときにしかうまく振る舞わないことである。 その場合には、逆極限に現れるすべての群は有限生成で、逆極限をとる操作は完全である。 しかし、例えば k が代数体の場合、コホモロジー群 Hⁱ(X_ét, Z/ℓⁿ) が有限とも、逆極限をとる操作が完全とも限らない。 これにより関手性に問題が生じる。 例えば、${\displaystyle H^{i}(X_{\text{et}},\mathbb {Z} _{\ell })}$ を ${\displaystyle H^{i}((X_{k^{\text{sep}}})_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell })}$ のガロア・コホモロジーに関連付けるホッホシルト・セールスペクトル系列^{[注釈 1]}は一般には存在しない^[8]。

以上の考察から、エタール層の逆系のなす圏を考えるというアイデアに至る。 これによって、Q_ℓ 局所系のなす圏とエタール基本群の有限次元 Q_ℓ ベクトル空間上の連続表現の圏の間の所望の圏同値が生じる。 また、前の段落で述べた問題も、逆系の大域切断の逆極限をとる関手の導来関手を考える、いわゆる連続エタール・コホモロジーによって解決する。

定義

X をネータースキームとする。 X 上の ℓ 進層、または Z_ℓ 層とは、X 上のエタール層のなす逆系 ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}}$ で、各 n ≧ 0 に対して射 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n+1}\to {\mathcal {F}}_{n}}$ が同型 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n+1}/\ell ^{n+1}{\mathcal {F}}_{n+1}\cong {\mathcal {F}}_{n}}$ を誘導するものである^[9]。

ℓ 進層 ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}}$ は、

• 各 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ が構成可能（英語版）なとき構成可能であるという^[10]。
• 各 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ が構成可能な局所定数層（英語版）のとき滑らか (lisse) であるという^[10]。

ℓ 進層の定義に構成可能であることを含める文献もある（例えば SGA 4 1/2^[11]）。

X 上の Q_ℓ 層のなす圏を次のように定義する。

• 対象は X 上の Z_ℓ 層とする。
• 2 つの Z_ℓ 層 ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$ に対して、射の集合 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {Q} _{\ell }}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$ を ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} _{\ell }}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }}$ と定める。

このように定義された圏の対象を X 上の Q_ℓ 層と呼び、Z_ℓ 層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ で表される Q_ℓ 層を ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes \mathbb {Q} _{\ell }}$ と表記する^[12]。

滑らかな ℓ 進層とエタール基本群の連続表現の対応

連結なネータースキーム X とその幾何学的点 x に対して、SGA 1 では X の x におけるエタール基本群 π^ét₁(X, x) が、X の有限ガロア被覆を分類する群として定義されている。 このとき、X 上の滑らかな ℓ 進層のなす圏は有限生成 Z_ℓ 加群上の π^ét₁(X, x) の連続表現のなす圏と同値である^[13]。 同様に、Q_ℓ 層の場合は有限次元 Q_ℓ ベクトル空間上の π^ét₁(X, x) の連続表現と対応する^[13]。 これは、代数的トポロジーにおける局所系（英語版）と基本群の連続表現の間の対応の類似である（このため、滑らかな ℓ 進層は局所系と呼ばれることがある）。

ℓ 進コホモロジー

古典的には、スキーム X 上の Z_ℓ 層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}}$ に対して、X の ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 係数 ℓ 進コホモロジーは

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}}):=\varprojlim _{n}H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{n})}$

と定義される^[14]。 Z_ℓ 層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}'=\{{\mathcal {F}}'_{n}\}_{n\geq 0}}$ により ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}'\otimes \mathbb {Q} _{\ell }}$ と表される Q_ℓ 層に対しては

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}}):=H^{i}(X,{\mathcal {F}}')\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }}$

と定義する^[14]。

しかし、これは導来関手として定義されていないため、関手性に問題が生じる^[15]。 この問題を解決するのがウーヴェ・ヤンセン（英語版）の連続エタール・コホモロジーである。 X 上のエタール層の逆系のなす圏はアーベル圏であり十分単射的対象をもつため^[16]、関手 ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}\mapsto \varprojlim _{n}\Gamma (X,{\mathcal {F}}_{n})}$ の i 次右導来関手を考えられる。 これを逆系 ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}}$ に適用して得られるアーベル群を ${\displaystyle H_{\text{cont}}^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ と表し、X の ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 係数連続エタール・コホモロジーという^{[注釈 2]}。

エタール層の逆系 ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}}$ で各射 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n+1}\to {\mathcal {F}}_{n}}$ が全射であるものに対して、X の ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 係数連続エタール・コホモロジーはバルガフ・バット（英語版）とペーター・ショルツェによるプロエタール・コホモロジーで表すことができる^[17]。

構成可能 ℓ 進層のなす「導来圏」

構成可能 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{\ell }}}}$ 層のなす導来圏は、本質的には ℓ 進コホモロジーの場合と類似の式

${\displaystyle D_{c}^{b}(X,{\overline {\mathbb {Q} _{\ell }}}):=(\varprojlim _{n}D_{c}^{b}(X,\mathbb {Z} /\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}{\overline {\mathbb {Q} _{\ell }}}}$

で表されるようなアイデアにより定義される。 ドリーニュ^[2]が最初にこのアイデアに沿った定義を与えた^[18]。 その後エケダール^[4]によってより一般的な構成が与えられた。

バット（英語版）とショルツェは、Q_ℓ の任意の（有限次とは限らない）代数拡大 E に対して、構成可能 E 層の導来圏 ${\displaystyle D_{c}^{b}(X,E)}$ をプロエタール位相を備えた X のプロエタール景 X_proét 上の E ベクトル空間の層のなすアーベル圏の導来圏 ${\displaystyle D(X_{\text{proét}},E)}$ の特別な対象のなす充満部分圏 ${\displaystyle D_{\text{cons}}(X_{\text{proét}},E)}$ として実現した^[19]。

関連項目

• ヴェイユ予想
• フーリエ・ドリーニュ変換（英語版）
• プロエタール位相

脚注

注釈

1. 通常のエタール・コホモロジーの場合のホッホシルト・セールスペクトル系列については、例えば Fu 2011, pp. 500–501 を参照。
2. Jannsen 1988, p. 216 では ℓ 進層における導来関手の値のみに対し ${\displaystyle H_{\text{cont}}^{i}}$ という記号が用いられ、また「連続エタール・コホモロジー」の名前もその状況においてのみ与えられているが、ここでは Bhatt & Scholze 2015, Definition 5.6.1 の記法・用語法に従った。

出典

1. Illusie 1977.
2. ^ Deligne, Pierre (1980). “La conjecture de Weil. II”. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 52: 137-252. 
3. Jannsen 1988.
4. ^ Ekedahl 1990.
5. “Section 61.1 (0966): Introduction”. The Stacks Project. 2024年8月20日閲覧。.
6. Bhatt & Scholze 2015.
7. “Etale cohomology with coefficients in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$”. mathoverflow. 2024年8月20日閲覧。
8. Jannsen 1988, pp. 207–208.
9. Milne 1980, pp. 163–164.
10. ^ Milne 1980, p. 164.
11. Deligne, Pierre (1977). Cohomologie Etale. Lecture Notes in Mathematics. 569. Berlin; New York: Springer-Verlag. pp. iv+312. doi:10.1007/BFb0091516. ISBN 978-3-540-08066-4. MR0463174 
12. “Definition 64.18.6 (03UR)”. The Stacks Project. 2024年8月21日閲覧。
13. ^ Fu 2011, Proposition 10.1.23.
14. ^ “Definition 64.18.8 (03UT)”. The Stacks Project. 2024年8月21日閲覧。
15. Jannsen 1988, p. 207.
16. Jannsen 1988, p. 209.
17. Bhatt & Scholze 2015, § 5.6.
18. Bhatt & Scholze 2015, p. 100.
19. Bhatt & Scholze 2015, Proposition 6.8.14.

参考文献

• Bhatt, Bhargav; Scholze, Peter (2015). “The pro-étale topology for schemes”. Astérisque 369: 99-201. doi:10.24033/ast.960. https://smf.emath.fr/publications/la-topologie-pro-etale-sur-les-schemas.  arXiv:1309.1198
• Ekedahl, Torsten (1990). “On the adic formalism”. The Grothendieck Festschrift, Vol. II (Boston, MA: Birkhäuser Boston): 197-218. 
• Fu, Lei (2011), Etale Cohomology Theory, Nankai Tracts in Mathematics, 13, World Scientific Publishing, doi:10.1142/7773, ISBN 9789814307727 
• Exposé V, VI of Illusie, Luc, ed (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1965–66 SGA 5. Lecture notes in mathematics. 589. Berlin; New York: Springer-Verlag. pp. xii+484. doi:10.1007/BFb0096802. ISBN 3-540-08248-4. MR0491704 
• Jannsen, Uwe (1988). “Continuous Étale Cohomology.”. Mathematische Annalen 280 (2): 207–246. ISSN 0025-5831. https://eudml.org/doc/164361. 
• James S., Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln 

外部リンク

• Mathoverflow: A nice explanation of what is a smooth (ℓ-adic) sheaf?
• Number theory learning seminar 2016–2017
• (Pro)Étale Cohomology