法線ベクトル

曲面の法ベクトル場

法線ベクトル（ほうせんベクトル、英: normal vector）とは、2次元平面においては、曲線上の点における接線に垂直な平面ベクトル、3次元空間においては、曲面上の点における接平面に垂直な空間ベクトルのことである。法線（ほうせん、英: normal）とは、接線や接平面に垂直な直線のことである。

曲線（曲面）上の点に対して法線ベクトルは1つに決まらないことに注意する必要がある。そこで中でも単位ベクトル（ノルムが 1）であるものを単位法（線）ベクトル（英: normal unit vector）というが、それでも2つあることに注意する必要がある。

3次元での例

平面の法線ベクトルの例

曲面の法線ベクトルは、2つの線形独立な接ベクトルの外積として求めることができる。

右図で示した右手系の正規直交座標系において、直方体の一つの面の頂点を A, B, C, D とすると、面 ABCD の法線ベクトル N は、

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\overrightarrow {\text{AB}}}\times {\overrightarrow {\text{AD}}}}$

となる。ここで ×はベクトルの外積を表す。ノルムは線分 AD と線分 BC の長さの積となっている。

線分 AB と線分 DC が x軸に平行で、線分 AD と線分 BC が z軸に平行な場合、

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=-|{\overrightarrow {\text{AB}}}|{\boldsymbol {i}}\times |{\overrightarrow {\text{AD}}}|{\boldsymbol {k}}=|{\overrightarrow {\text{AB}}}||{\overrightarrow {\text{AD}}}|{\boldsymbol {j}}}$

となる。ここで j は y軸方向の単位ベクトルである。

導出

平面において、

• 曲線 ${\displaystyle f(x,y)=0}$ 上の点 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ における法線ベクトル：${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0}),{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\right)}$
  • 特に、直線 ${\displaystyle ax+by+c=0}$ 上の点 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ における法線ベクトル：${\displaystyle (a,b)}$
• 曲線 ${\displaystyle x=f(t),y=g(t)}$（t は媒介変数）の ${\displaystyle t=t_{0}}$ における点の法線ベクトル：${\displaystyle \pm (y'(t_{0}),-x'(t_{0}))}$

接空間の法線ベクトルによる表示

接点と法線ベクトルから、元の接空間を表すことができる。

• 接点 ${\displaystyle {\text{A}}({\boldsymbol {a}})}$、法線ベクトル ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ の接空間の方程式は ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})=0}$

関連項目

• 線形代数学
  • ベクトル空間
    • ベクトル
      • 単位ベクトル
    • 直交補空間
• ベクトル解析

外部リンク

• 『法線ベクトルの3通りの求め方と応用』 - 高校数学の美しい物語