斜交座標系

斜交座標系（2次元）

斜交座標系（しゃこうざひょうけい、oblique coordinate system）とは、斜めに交わった数直線を軸とする座標系である。直交座標系の拡張としてとらえられる。

2次元平面における斜交座標系

2本の数直線 x, y が共通の原点をもち、なす角 θ（ただし 0° < θ < 180°）で交わっているとき、その座標系はx軸、y軸からなる斜交座標となる。 座標平面上の全ての点Pは、その点からx軸、y軸に関して平行線をひくことにより、P(a, b) と一意に表すことができる。 逆に座標 (a, b) が与えられれば、Pの位置は一意に決定される。

なお、2本の軸のなす角 θ = 90° のときとして、斜交座標系は直交座標系を含む。

直交座標系との座標変換

x軸、y軸からなる斜交座標系と共通の原点を持つx′軸、y′軸からなる直交座標系について、x軸、y軸がx′軸となす角をそれぞれ θ, ϕ とする。 斜交座標系で P(a, b) と表されている点を直交座標 (a′, b′) に座標変換する公式は以下である：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\cos \phi \\\sin \theta &\sin \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$

直交座標系はこの表記では θ =0, ϕ =90° の場合である．

内積

→「ベクトルの共変性と反変性」も参照

直交座標系の場合は、2つのベクトル ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{x},u_{y}),{\vec {v}}=(v_{x},v_{y})}$ の内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}&=u_{x}v_{x}+(u_{x}v_{y}+u_{y}v_{x})\cos(\phi -\theta )+u_{y}v_{y}\\&={\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

(1)

あるいは次のようにも表現できる^{[1][注 1]}：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}&=u^{i}v_{i}=u^{1}v_{1}+u^{2}v_{2},\\(u^{1},u^{2})&:=(u_{x},u_{y}),\\(v_{1},v_{2})&:=(v_{x}+v_{y}\cos(\phi -\theta ),v_{x}\cos(\phi -\theta )+v_{y})\end{aligned}}}$

このとき、添字が上についている量（u¹ など）を反変成分、下についている量（v₁ など）を共変成分という。各座標軸の方向を向く単位ベクトル（共変基底ベクトル）を${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}}$ とすれば、反変成分を用いて

${\displaystyle {\vec {u}}=u^{i}{\vec {e}}_{i}=u^{1}{\vec {e}}_{1}+u^{2}{\vec {e}}_{2}}$

と書くことができる。また、反変基底ベクトルとして

• ${\displaystyle {\vec {e}}^{1}}$：y軸（または${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$）に垂直で長さが 1/sin(ϕ − θ) のベクトル
• ${\displaystyle {\vec {e}}^{2}}$：x軸（または${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$）に垂直で長さが 1/sin(ϕ − θ) のベクトル

とすれば^{[注 2]}、共変成分を用いて

${\displaystyle {\vec {v}}=v_{i}{\vec {e}}^{i}=v_{1}{\vec {e}}^{1}+v_{2}{\vec {e}}^{2}}$

と書くことができる。

上記の議論は${\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}}}$ を入れ替えても同様に成り立つ。

計量テンソル

式(1)の右辺に表れた行列

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}}$

は計量テンソルとよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。 斜交座標系では計量テンソル g は

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\\{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}},\\g^{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{2}\\{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin ^{2}(\phi -\theta )}}{\begin{pmatrix}1&-\cos(\phi -\theta )\\-\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}=(g_{ij})^{-1}\end{aligned}}}$

となる。また反変成分と共変成分の変換は

${\displaystyle u_{i}=g_{ij}u^{j},\quad u^{i}=g^{ij}u_{j}}$

とシンプルに表すことができる．

多次元の場合

以上で2次元の場合を説明したが、斜交座標系はより一般の次元においても同様に考えられる。

脚注

注釈

1. uⁱ, v_i などにはアインシュタインの縮約記法が適用され、総和記号が省略されていることに注意。
2. これらのベクトルの間には、クロネッカーのデルタを用いて、${\displaystyle {\vec {e}}^{i}\cdot {\vec {e}}_{j}={\delta ^{i}}_{j}}$ の関係が成り立つ。

出典

1. W. フリューゲ 著、後藤学 訳『テンソル解析と連続体力学』ブレイン図書出版、1979年、3-6頁。 

関連項目

• 直交座標系
• 極座標系