一般角

一般角^[1]（いっぱんかく、英語: general angle^[2][3]）とは、任意の角度を表す概念であり、特定の範囲に限定されない角度のことを指す。

概要

通常、三角法や幾何学において角度を考える際には、${\displaystyle 0^{\circ }}$から${\displaystyle 360^{\circ }}$までの範囲や、ラジアンで表現する場合は${\displaystyle 0^{\circ }}$から${\displaystyle 2\pi }$までの範囲で考えることが多い。

しかし、一般角はこのような特定の範囲に限定されず、例えば負の角度や${\displaystyle 360^{\circ }}$を超える角度も含まれる。

角に正負のみを与えたものは有向角と呼ばれる^[4]。

定義

一般角は以下のように定義される：

• 角度${\displaystyle \theta }$に${\displaystyle 360^{\circ }}$（または${\displaystyle 2\pi \,{\text{rad}}}$）を整数倍したものを足したり引いたりしたもの。
• すなわち、${\displaystyle \theta }$が一般角である場合、${\displaystyle \theta +360^{\circ }\times n}$または${\displaystyle \theta +2\pi \times n}$（${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$）も一般角である^[5]。

このようにして、一般角の概念を用いることで、複数回転や逆方向の回転など、さまざまな角度の状況を包括的に扱うことができる。

動径を用いて次の様にも定義される^[6]。

• 半直線OX（始線）をOを中心として回転させた半直線をORとする。OXとORの成す角を回転量と回転の向きで表したものを一般角と言う。

性質

三角関数

→詳細は「三角関数の公式の一覧」を参照

一般角と三角関数には深い関係がある。例えば以下の様な関係式が成立する。

負角との関係	2πの移動
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}}$

極形式

→詳細は「複素数の偏角」を参照

角度を一般角に拡張した場合、極座標では点と点を表す実数の組が一対一で表せなくなる^[7]。

関連項目

• 符号付距離
• 符号付面積

出典

1. 『新三角法初歩』目黒書店、1925年、138-148頁。doi:10.11501/986430。 
2. 根津千治『三角法教科書教授資料』山海堂出版部、1917年、30-32頁。doi:10.11501/933783。 
3. 岡田良知『新制三角函数とその応用』山海堂、1949年、113頁。doi:10.11501/1158963。 
4. エヴァン・チェン『数学オリンピック幾何への挑戦: ユークリッド幾何学をめぐる船旅』日本評論社、2023年2月。ISBN 978-4-535-78978-4。 
5. “一般角(イッパンカク)とは？ 意味や使い方”. コトバンク. 2024年8月5日閲覧。
6. “一般角の定義”. 金沢工業大学. 2024年8月5日閲覧。
7. “直交座標と極座標（２次元）の変換とメリットの比較”. 高校数学の美しい物語 (2021年3月7日). 2024年8月5日閲覧。

外部リンク

• 一般角-GeoGebra教材