八木・宇田アンテナ 。アンテナ内で加速された電子から電波が放射される。この過程はコヒーレント であり、放射される全エネルギーは加速される電子の個数の2乗に比例する。ラーモアの公式 （ラーモアのこうしき、英 : Larmor formula ）は、非相対論的な点電荷の加速において単位時間当たりに放射されるエネルギー を計算するのに用いられる。この式は古典電磁気学 として知られる物理学 の分野で用いられるが、古典的な核磁気共鳴におけるラーモア歳差運動 と混同してはならない。1897年、ジョゼフ・ラーモア により光の波動論 を論じる中で導出された[ 1]
荷電粒子（例えば電子 、陽子、イオン ）は、加速運動をするとき電磁波 の形でエネルギーを放出する。速度が光速 と比べて小さいとき、放出される単位時間当たりの総エネルギーは次のラーモアの公式で計算される：
P
=
2
3
q
2
a
2
4
π π -->
ε ε -->
0
c
3
=
q
2
a
2
6
π π -->
ε ε -->
0
c
3
(SI units)
{\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\mbox{ (SI units)}}}
P
=
2
3
q
2
a
2
c
3
(cgs units)
{\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\mbox{ (cgs units)}}}
ここで
a
{\displaystyle a}
q
{\displaystyle q}
c
{\displaystyle c}
リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル を用いることで与えられる。
どちらの単位系であっても、1個の電子から放出されるエネルギーは古典電子半径 と電子の静止質量 を用いて次のように表せる：
P
=
2
3
m
e
r
e
a
2
c
{\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}}
まず、電場と磁場の形を求める必要がある。これらの場は次のように書ける（完全な導出についてはリエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル を参照）。
E
(
r
,
t
)
=
q
(
n
− − -->
β β -->
γ γ -->
2
(
1
− − -->
β β -->
⋅ ⋅ -->
n
)
3
R
2
)
r
e
t
+
q
c
(
n
× × -->
[
(
n
− − -->
β β -->
)
× × -->
β β -->
˙ ˙ -->
]
(
1
− − -->
β β -->
⋅ ⋅ -->
n
)
3
R
)
r
e
t
{\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)=q\left({\frac {{\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {n}})^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {{\boldsymbol {n}}\times [({\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {n}})^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}}
および
B
=
n
× × -->
E
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {E}}}
ここで
β β -->
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}
c
{\displaystyle c}
β β -->
˙ ˙ -->
{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}
c
{\displaystyle c}
n
{\displaystyle {\boldsymbol {n}}}
r
− − -->
r
0
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}}
R
{\displaystyle R}
r
− − -->
r
0
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}}
r
0
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}}
γ γ -->
=
(
1
− − -->
β β -->
2
)
− − -->
1
/
2
{\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}}
遅延時間 （英語版 ）
t
r
=
t
− − -->
R
/
c
{\displaystyle t_{\text{r}}=t-R/c}
右辺は、荷電粒子の速度に関係する項と加速度に関係する項の和になっている。速度に関係する場は
β β -->
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}
β β -->
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}
β β -->
˙ ˙ -->
{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}
1
/
R
2
{\displaystyle 1/R^{2}}
1
/
R
{\displaystyle 1/R}
放射場のエネルギー流束密度は、ポインティング・ベクトル
S
=
c
4
π π -->
E
a
× × -->
B
a
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\frac {c}{4\pi }}{\boldsymbol {E}}_{\text{a}}\times {\boldsymbol {B}}_{\text{a}}}
を計算することで求められる。ここで下付きの 'a' は、加速度の項のみをとっていることの強調である。電場と磁場の関係式を代入し、粒子は時刻
t
r
{\displaystyle t_{\text{r}}}
[ note 1]
S
=
q
2
4
π π -->
c
|
n
× × -->
(
n
× × -->
β β -->
˙ ˙ -->
)
R
|
2
n
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {{\boldsymbol {n}}\times ({\boldsymbol {n}}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})}{R}}\right|^{2}{\boldsymbol {n}}}
となる。加速度の方向と観測方向のなす角を
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
a
=
β β -->
˙ ˙ -->
c
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\dot {\boldsymbol {\beta }}}c}
立体角 当たりの放出されるエネルギーは
d
P
d
Ω Ω -->
=
q
2
4
π π -->
c
sin
2
-->
(
θ θ -->
)
a
2
c
2
{\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a^{2}}{c^{2}}}}
となる。放射される単位時間当たりのエネルギーの総計はこの量を全立体角にわたって積分（つまり、
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
ϕ ϕ -->
{\displaystyle \phi }
P
=
2
3
q
2
a
2
c
3
{\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}}
となる。これが非相対論的な加速された電荷によるラーモアの結果であり、
この式によって放射のエネルギーが粒子の加速度と結び付けられる。明らかに加速度が大きくなればなるほど放射も大きくなるが、これは放射場が加速度に依存することから予期されることである。
完全な導出は末尾の出典[ 2]
このアプローチは光速度の有限性を出発点とする。等速運動を行う電荷は放射の方向に電場
E
r
{\displaystyle E_{r}}
R
{\displaystyle R}
(
E
t
=
0
)
{\displaystyle (E_{t}=0)}
この将来位置は速度が一定である限りは完全に決定的である。電荷が速度を変えるとき（例えば微小時間のうちに跳ね返るとき）、将来位置は「ジャンプ」し、その瞬間以降、電場
E
r
{\displaystyle E_{r}}
E
t
{\displaystyle E_{t}}
1
/
R
2
{\displaystyle 1/R^{2}}
1
/
R
{\displaystyle 1/R}
よって、電荷から遠く離れた点では
E
r
{\displaystyle E_{r}}
E
t
{\displaystyle E_{t}}
1
/
R
2
{\displaystyle 1/R^{2}}
1
/
R
4
{\displaystyle 1/R^{4}}
E
t
=
e
a
sin
-->
(
θ θ -->
)
4
π π -->
ε ε -->
0
c
2
R
{\displaystyle E_{t}={{ea\sin(\theta )} \over {4\pi \varepsilon _{0}c^{2}R}}}
となる（SI）。ラーモアの公式を得るには、電荷から遠距離
R
{\displaystyle R}
E
t
{\displaystyle E_{t}}
S
=
E
t
2
μ μ -->
0
c
r
^ ^ -->
=
e
2
a
2
sin
2
-->
(
θ θ -->
)
16
π π -->
2
ε ε -->
0
c
3
R
2
r
^ ^ -->
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}={E_{t}^{2} \over \mu _{0}c}{\boldsymbol {\hat {r}}}={{e^{2}a^{2}\sin ^{2}(\theta )} \over {16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}R^{2}}}{\boldsymbol {\hat {r}}}}
を全角度にわたって積分する必要がある。これにより、
P
=
e
2
a
2
6
π π -->
ε ε -->
0
c
3
{\displaystyle P={{e^{2}a^{2}} \over {6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}}
が得られる（SI）。数学的には
P
=
μ μ -->
0
e
2
a
2
6
π π -->
c
{\displaystyle P={{\mu _{0}e^{2}a^{2}} \over {6\pi c}}}
と同じである。
c
2
=
1
/
μ μ -->
0
ϵ ϵ -->
0
{\displaystyle c^{2}=1/\mu _{0}\epsilon _{0}}
P
=
2
3
q
2
a
2
4
π π -->
ε ε -->
0
c
3
=
q
2
a
2
6
π π -->
ε ε -->
0
c
3
{\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}}
が得られる。
運動量 p
P
=
2
3
q
2
m
2
c
3
|
p
˙ ˙ -->
|
2
{\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\boldsymbol {p}}}|^{2}}
であり[ 3] P [ 3] P
|
p
˙ ˙ -->
|
2
{\displaystyle |{\dot {\boldsymbol {p}}}|^{2}}
4元加速度 （英語版 ） a μ = dp μ /d τp μ = (γmc , γm v )4元運動量 ）の自分自身との内積で得られるローレンツ不変なスカラーが含まれているべきだと示唆される。相対論的に正しいラーモアの公式（CGS単位系）は次のようになる[ 3]
P
=
− − -->
2
3
q
2
m
2
c
3
d
p
μ μ -->
d
τ τ -->
d
p
μ μ -->
d
τ τ -->
{\displaystyle P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}}
この内積は
d
p
μ μ -->
d
τ τ -->
d
p
μ μ -->
d
τ τ -->
=
β β -->
2
(
d
p
d
τ τ -->
)
2
− − -->
(
d
p
d
τ τ -->
)
2
{\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac {dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\boldsymbol {p}}}{d\tau }}\right)^{2}}
で与えられるとわかる[ 3] β ≪ 1 の極限では
− − -->
|
p
˙ ˙ -->
|
2
{\displaystyle -|{\dot {\boldsymbol {p}}}|^{2}}
上記の内積は β [ 3]
P
=
2
q
2
γ γ -->
6
3
c
[
(
β β -->
˙ ˙ -->
)
2
− − -->
(
β β -->
× × -->
β β -->
˙ ˙ -->
)
2
]
{\displaystyle P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left[({\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}\right]}
これはリエナールによる結果で、最初に得られたのは1898年であった。
γ γ -->
6
{\displaystyle \gamma ^{6}}
ローレンツ因子
γ γ -->
=
1
/
1
− − -->
β β -->
2
{\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}
β β -->
≪ ≪ -->
1
{\displaystyle \beta \ll 1}
β β -->
→ → -->
1
{\displaystyle \beta \rightarrow 1}
γ γ -->
6
{\displaystyle \gamma ^{6}}
1
− − -->
β β -->
2
=
1
/
γ γ -->
2
{\displaystyle 1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}}
γ γ -->
6
{\displaystyle \gamma ^{6}}
γ γ -->
4
{\displaystyle \gamma ^{4}}
リエナールの結果を使うと、様々な運動の下でどのような放射が減衰していくと想定されるかを予測することができる。
放出されるエネルギーの角度分布は、粒子が相対論的かどうかにかかわらず適用できる一般的な公式を用いて求められる。CGS単位系で、公式は
d
P
d
Ω Ω -->
=
q
2
4
π π -->
c
|
n
^ ^ -->
× × -->
[
(
n
^ ^ -->
− − -->
β β -->
)
× × -->
β β -->
˙ ˙ -->
]
|
2
(
1
− − -->
n
^ ^ -->
⋅ ⋅ -->
β β -->
)
5
{\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {|{\boldsymbol {\hat {n}}}\times [({\boldsymbol {\hat {n}}}-{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]|^{2}}{(1-{\boldsymbol {\hat {n}}}\cdot {\boldsymbol {\beta }})^{5}}}}
となる[ 4]
n
^ ^ -->
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}}
d
P
d
Ω Ω -->
=
q
2
a
2
4
π π -->
c
3
sin
2
-->
θ θ -->
(
1
− − -->
β β -->
cos
-->
θ θ -->
)
5
{\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}}}
と単純化される[ 5]
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
荷電粒子からの放射はエネルギーと運動量を運ぶ。エネルギーと運動量の保存則を満たすためには、荷電粒子は放射のタイミングで反跳を受けなければならない（放射は荷電粒子に追加的な力を及ぼさねばならない）。この力はアブラハム・ローレンツ力 （英語版 ） アブラハム・ローレンツ・ディラック力 （英語版 ）
原子核のまわりを回る古典的電子は加速運動をし、放射を行う。結果として、電子はエネルギーを失い原子核へ墜落せねばならない。そのため古典力学によれば原子は安定ではない。この古典的な予測は安定的な電子軌道という観測と対立する。この問題は原子物理学 の量子力学 による記述（最初期のものはボーア模型）を用いて解決された。
^
β β -->
(
t
r
)
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle \beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0}
Introduction to Electrodynamics を参照。
^ Larmor J (1897). “LXIII.On the theory of the magnetic influence on spectra; and on the radiation from moving ions”. Philosophical Magazine . 5 44 : 503–512. doi :10.1080/14786449708621095 . ^ Purcell Simplified ^ a b c d e Jackson, J.D., Classical Electrodynamics (3rd ed.), pp. 665–8
^ Jackson eq (14.38)
^ Jackson eq (14.39)
J. Larmor, "On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium", Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897) pp. 205–300 (Third and last in a series of papers with the same name).
Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation . San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0 R. P. Feynman; F. B. Moringo; W. G. Wagner (1995). Feynman Lectures on Gravitation . Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5 
![{\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)=q\left({\frac {{\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {n}})^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {{\boldsymbol {n}}\times [({\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {n}})^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ab44718bff8586fa9749134678af2401f84ab6)
![{\displaystyle P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left[({\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed52c5e6c3d248706e446d462820913cc87f5878)
![{\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {|{\boldsymbol {\hat {n}}}\times [({\boldsymbol {\hat {n}}}-{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]|^{2}}{(1-{\boldsymbol {\hat {n}}}\cdot {\boldsymbol {\beta }})^{5}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bdb2e45da4718a70bc5b22d5c06d30b3627bfbe)
