数学 におけるベクトル空間 V 上のテンソル代数 （テンソルだいすう、英 : tensor algebra T (V )T • (V )V 上の任意階のテンソル 全体がテンソル積 を乗法として成す体上の多元環 である。これは多元環をベクトル空間とみなす忘却函手 （英語版 ） 左随伴 となるという意味において V 上の自由多元環 、すなわち普遍性 を満たすという意味で V を含む多元環として「最も一般」のものである。
テンソル代数はまた二種類の余代数 構造を持つ。一つは簡素で双代数 を定めないが、もう一つはより複雑なもので双代数を導き、さらに対蹠射 を以ってホップ代数 へ拡張することができる。
注意
本項において多元環（代数）は単位的 かつ結合的 なものと仮定する。
V は体 K 上のベクトル空間 とする。任意の非負整数 k に対して V の k -次テンソル冪とは V の k -重テンソル積
T
k
(
V
)
=
V
⊗ ⊗ -->
k
=
V
⊗ ⊗ -->
V
⊗ ⊗ -->
⋯ ⋯ -->
⊗ ⊗ -->
V
{\displaystyle T^{k}(V)=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}
を言う。即ち、T k V )V 上の k -階（反変）テンソルT 0 (V )係数体 （英語版 ） K （をそれ自身の上のベクトル空間と見たもの）であるものとする。
このときテンソル代数 T (V )k = 0, 1, 2, …k -次テンソル冪 T k ベクトル空間の直和
T
(
V
)
=
⨁ ⨁ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
T
k
(
V
)
=
K
⊕ ⊕ -->
V
⊕ ⊕ -->
(
V
⊗ ⊗ -->
V
)
⊕ ⊕ -->
(
V
⊗ ⊗ -->
V
⊗ ⊗ -->
V
)
⊕ ⊕ -->
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}(V)=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots }
を台として構成される。T (V )テンソル積 によって与えられる自然同型
T
k
(
V
)
⊗ ⊗ -->
T
ℓ ℓ -->
(
V
)
→ → -->
T
k
+
ℓ ℓ -->
(
V
)
{\displaystyle T^{k}(V)\otimes T^{\ell }(V)\to T^{k+\ell }(V)}
を T (V )T (V )T k V )k の斉次部分空間に持つ次数付き多元環 となる。この次数付けは負の整数 k に対して T k V ) = {0}Z
この構成は全くそのままのやり方で可換環 R 上の任意の加群 M のテンソル代数に一般化される。R が非可換 のときは、任意の (R , R ) -両側加群 に対してならばこの構成を実行できる（単に R -加群としたのでは、テンソル冪が作れないのでうまくいかない）。
テンソル代数 T (V )V 上の自由多元環 とも呼ばれ、また V に関して函手的である。他の自由構成 （英語版 ） T は適当な忘却函手 （英語版 ） 左随伴 となる。今の場合、考えるべき忘却函手は各 K -代数をその台となるベクトル空間へ写すものである。
陽に書けば、テンソル代数の普遍性 （V を含む最も一般な多元環であることをきちんと述べたもの）は以下のようなものである:
テンソル代数の普遍性
K 上の任意の多元環 A と任意の線型写像 f : V → A 多元環の準同型 （英語版 ） ~ f T (V ) → A f = ~ f i ここに、i : V → T (V )自然な埋め込み （随伴の単位射）である。したがって、以下の図式
テンソル代数の普遍性 が可換 となる。実は、この性質を満たす一意的な多元環としてテンソル代数 T (V )同型を除いて 一意）が、それでもこの性質を満たす対象が存在することは示さなければならない。
上記の普遍性は、テンソル代数の構成が自然に「函手的」となることを示している。すなわち、T は K 上のベクトル空間の圏 K -Vect K -多元環の圏 K -Alg 函手 である。T の函手性は任意の線型写像 V → W T (V ) → T (W )
ベクトル空間 V が有限な次元 n を持つとき、テンソル代数の別の見方として「K 上の非可換な n -変数多項式の環」とみることができる。V の基底ベクトル をとって、それを T (V )不定元 ）、すなわち結合性 、分配性 および K -線型性の他は何の制約も持たない元と見る。
注意すべき点として、V 上の非可換多項式環として適切なのは T (V )T (V *)V 上の一次斉次函数は V *x 1 , …, x n
テンソル代数が最も一般の多元環であることを利用して、ほかの多くの多元環について、まずテンソル代数を構成してからそこに生成元に関する特定の関係式を導入して構成すること、つまり T (V )商多元環 （英語版 ） 外積代数 、対称代数 、クリフォード代数 や普遍包絡代数 など。
テンソル代数は二種類の余代数 構造を持つ。一つは簡素で双代数 を定めないが、もう一つはより複雑なもので双代数を導き、さらに対蹠射 を以ってホップ代数 へ拡張することができる。
テンソル代数上の単純な余代数 構造は以下のようなものである。余乗法 Δ は
Δ Δ -->
(
v
1
⊗ ⊗ -->
⋯ ⋯ -->
⊗ ⊗ -->
v
m
)
:=
∑ ∑ -->
i
=
0
m
(
v
1
⊗ ⊗ -->
⋯ ⋯ -->
⊗ ⊗ -->
v
i
)
⊗ ⊗ -->
(
v
i
+
1
⊗ ⊗ -->
⋯ ⋯ -->
⊗ ⊗ -->
v
m
)
{\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{m}):=\sum _{i=0}^{m}(v_{1}\otimes \dots \otimes v_{i})\otimes (v_{i+1}\otimes \dots \otimes v_{m})}
を T (V )
ε ε -->
(
v
)
=
{
v
(
v
∈ ∈ -->
T
0
(
V
)
)
0
(
v
∈ ∈ -->
T
k
(
V
)
,
k
>
0
)
{\displaystyle \varepsilon (v)={\begin{cases}v&(v\in T^{0}(V))\\0&(v\in T^{k}(V),k>0)\end{cases}}}
である。余乗法 Δ: T (V ) → T (V ) ⊗ T (V ) は次数付けを反映すれば
T
m
(
V
)
→ → -->
⨁ ⨁ -->
i
+
j
=
m
T
i
(
V
)
⊗ ⊗ -->
T
j
(
V
)
{\displaystyle T^{m}(V)\to \bigoplus _{i+j=m}T^{i}(V)\otimes T^{j}(V)}
を満たすこと、また余単位射 ε も次数付けと両立することなどに注意。
テンソル代数にこの余乗法と余単位射を考えたものは双代数 を成さない。
しかし以下のような複雑な形の余乗法
Δ Δ -->
(
x
1
⊗ ⊗ -->
⋯ ⋯ -->
⊗ ⊗ -->
x
m
)
=
∑ ∑ -->
p
=
0
m
∑ ∑ -->
σ σ -->
∈ ∈ -->
S
h
p
,
m
− − -->
p
(
x
σ σ -->
(
1
)
⊗ ⊗ -->
⋯ ⋯ -->
⊗ ⊗ -->
x
σ σ -->
(
p
)
)
⊗ ⊗ -->
(
x
σ σ -->
(
p
+
1
)
⊗ ⊗ -->
⋯ ⋯ -->
⊗ ⊗ -->
x
σ σ -->
(
m
)
)
{\displaystyle \Delta (x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=\sum _{p=0}^{m}\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{p,m-p}}\left(x_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes x_{\sigma (p)}\right)\otimes \left(x_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes x_{\sigma (m)}\right)}
を入れれば双代数になる。ただし後ろの和は(p , m − p ) -シャッフル（英語版 ）
さらに、対蹠射 S を
S
(
x
1
⊗ ⊗ -->
⋯ ⋯ -->
⊗ ⊗ -->
x
m
)
=
(
− − -->
1
)
m
x
m
⊗ ⊗ -->
⋯ ⋯ -->
⊗ ⊗ -->
x
1
{\displaystyle S(x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=(-1)^{m}x_{m}\otimes \dots \otimes x_{1}}
を T (V )ホップ代数 を成す。
これはちょうど自由多元環上の標準ホップ代数構造に一致する。ただし、T 1 (V ) = V
Δ Δ -->
(
x
)
=
x
⊗ ⊗ -->
1
+
1
⊗ ⊗ -->
x
{\displaystyle \Delta (x)=x\otimes 1+1\otimes x}
で定義し、これを
Δ Δ -->
(
x
1
⊗ ⊗ -->
⋯ ⋯ -->
⊗ ⊗ -->
x
m
)
=
Δ Δ -->
(
x
1
)
Δ Δ -->
(
x
2
)
⋯ ⋯ -->
Δ Δ -->
(
x
m
)
.
{\displaystyle \Delta (x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=\Delta (x_{1})\Delta (x_{2})\cdots \Delta (x_{m}).}
を通じて T m V )T 1 (V ) = V
S
(
x
)
=
− − -->
x
{\displaystyle S(x)=-x}
となるものとし、T (V )反自己同型 （英語版 ）
S
(
x
1
⊗ ⊗ -->
⋯ ⋯ -->
⊗ ⊗ -->
x
m
)
=
S
(
x
m
)
S
(
x
m
− − -->
1
)
⋯ ⋯ -->
S
(
x
2
)
S
(
x
1
)
{\displaystyle S(x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=S(x_{m})S(x_{m-1})\cdots S(x_{2})S(x_{1})}
により T m V )
