Teorema di rappresentazione di Riesz

In analisi funzionale, con teorema di rappresentazione di Riesz si identificano diversi teoremi, che prendono il nome dal matematico ungherese Frigyes Riesz.

Nel caso si consideri uno spazio di Hilbert, il teorema stabilisce un collegamento importante tra lo spazio e il suo spazio duale. Se il campo associato allo spazio è il campo dei numeri reali, i due spazi sono isometricamente isomorfi, mentre se il campo è quello dei numeri complessi i due spazi sono isometricamente anti-isomorfi.

Teorema di rappresentazione per funzionali lineari su ${\displaystyle C_{c}(X)}$

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio di Hausdorff localmente compatto e ${\displaystyle \lambda }$ un funzionale lineare positivo in ${\displaystyle C_{c}(X)}$, lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto e a valori complessi. Allora esiste una sigma-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ su ${\displaystyle X}$ contenente tutti i suoi insiemi di Borel, ed esiste un'unica misura ${\displaystyle \mu }$ su ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ tale che:^[1]

${\displaystyle \lambda (f)=\int _{X}fd\mu \ }$

per ogni funzione ${\displaystyle f}$ di ${\displaystyle C_{c}(X)}$, e tale che valgano le seguenti proprietà:^[2]

• ${\displaystyle \mu (K)<\infty }$ per ogni insieme compatto ${\displaystyle K}$ di ${\displaystyle X}$.

• Per ogni insieme di Borel ${\displaystyle E_{i}}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ si ha:

${\displaystyle \mu (E_{i})=\inf\{\mu (U):E_{i}\subseteq U,U{\text{ aperto}}\}.}$

• Per ogni insieme ${\displaystyle E_{i}}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ di misura finita si ha:

${\displaystyle \mu (E_{i})=\sup\{\mu (K):K\subseteq E_{i},K{\text{ compatto}}\}.}$

Si dice che la misura ${\displaystyle \mu }$ "rappresenta" il funzionale ${\displaystyle \lambda }$.

Generalizzazione

Poiché lo spazio ${\displaystyle C_{c}(X)}$ è un sottoinsieme denso dello spazio di Banach ${\displaystyle C_{0}(X)}$ delle funzioni continue che si annullano all'infinito, ogni funzionale lineare a supporto compatto può essere esteso a un funzionale lineare limitato su ${\displaystyle C_{0}(X)}$.^[3] Il teorema può essere quindi generalizzato affermando che per ogni funzionale limitato ${\displaystyle \psi }$ su ${\displaystyle C_{0}(X)}$ esiste un'unica misura di Borel regolare ${\displaystyle \mu }$ su ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ tale che:^[4]

${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}fd\mu }$

e tale che:

${\displaystyle \|\psi \|=|\mu |(X)}$

dove

${\displaystyle |\mu |=\sup \sum _{i=1}^{+\infty }|\mu (E_{i})|}$

è la variazione totale della misura ${\displaystyle \mu }$.

Teorema di rappresentazione per gli spazi di Hilbert

Sia ${\displaystyle H}$ uno spazio di Hilbert e sia ${\displaystyle H^{*}}$ il suo spazio duale, costituito di tutti i funzionali lineari continui da ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o in ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Se ${\displaystyle x}$ è un elemento di ${\displaystyle H}$, la funzione ${\displaystyle \phi _{x}}$ definita da:

${\displaystyle \phi _{x}(y)=\left\langle y,x\right\rangle ,\quad \forall y\in H,}$

dove ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ indica il prodotto scalare dello spazio di Hilbert, è un elemento di ${\displaystyle H^{*}}$.^[5] Allora ogni elemento di ${\displaystyle H^{*}}$ può essere scritto unicamente in tale forma.

Come corollario, segue che data una funzione ${\displaystyle \phi \colon H\times H\to \mathbb {C} }$ che associa ad ogni coppia di elementi ${\displaystyle \mathbf {v} }$ e ${\displaystyle \mathbf {w} \in H}$ lo scalare ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\in \mathbb {C} }$ tale che:

• ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,a\mathbf {y} +b\mathbf {z} )=a\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )+b\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {z} );}$
• ${\displaystyle \phi (a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ,\mathbf {z} )={\bar {a}}\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {z} )+{\bar {b}}\phi (\mathbf {y} ,\mathbf {z} );}$
• ${\displaystyle |\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|\leq C\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|,}$

per ogni ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ e ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in H}$. Allora esiste un'unica applicazione lineare limitata ${\displaystyle A\colon H\to H}$ tale che:

• ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ,\qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in H.}$

La norma di ${\displaystyle A}$ è inoltre la più piccola costante ${\displaystyle C}$ tale che ${\displaystyle |\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|\leq C\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}$.^[6]

Dimostrazione

Si vuole mostrare che se ${\displaystyle H}$ è uno spazio di Hilbert allora il suo duale ${\displaystyle H^{*}}$ è dato da:

${\displaystyle H^{*}=B(H,\mathbb {F} )=\{\{({\underline {y}},\langle {\underline {y}},{\underline {x}}\rangle ):{\underline {y}}\in H\}:{\underline {x}}\in H\},}$

dove ${\displaystyle B(H,\mathbb {F} )}$ denota l'insieme degli operatori lineari limitati che mappano da ${\displaystyle H}$ in un campo di scalari ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (reale o complesso), mentre ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon H\times H\to \mathbb {F} }$ denota il prodotto interno.

Per mostrare l'implicazione diretta è sufficiente notare che la linearità discende dalla linearità del prodotto interno, e la limitatezza segue dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Per l'implicazione inversa, sia ${\displaystyle {\underline {\phi }}\in H'}$. Se ${\displaystyle {\underline {\phi }}={\underline {0}}_{H'}}$ allora:

${\displaystyle {\underline {\phi }}=\{({\underline {y}},\langle {\underline {y}},{\underline {0}}_{H}\rangle ):{\underline {y}}\in H\}.}$

Si supponga ${\displaystyle {\underline {\phi }}\neq {\underline {0}}_{H'}}$ e siano:

${\displaystyle {\underline {x}}\in H,\qquad {\overline {\ker({\underline {\phi }})}}=\ker({\underline {\phi }}),\qquad \dim(\ker({\underline {\phi }}))\leqslant \dim(H).}$

Allora per il teorema della proiezione negli spazi di Hilbert:

${\displaystyle H=\ker({\underline {\phi }})\oplus (\ker({\underline {\phi }}))^{\perp }.}$

Dato che ${\displaystyle \ker(\phi )\neq H}$ allora ${\displaystyle (\ker({\underline {\phi }}))^{\perp }\neq \{{\underline {0}}_{H}\}}$. Sia dunque:

${\displaystyle {\underline {z}}\in \{{\underline {z}}\in (\ker({\underline {\phi }}))^{\perp }:\|{\underline {z}}\|_{H}=1\}.}$

Per la linearità di ${\displaystyle {\underline {\phi }}}$ si ha:

${\displaystyle {\underline {z}}{\underline {\phi }}({\underline {x}})-{\underline {x}}{\underline {\phi }}({\underline {z}})\in \ker({\underline {\phi }})}$

e quindi:

${\displaystyle \langle {\underline {z}}{\underline {\phi }}({\underline {x}})-{\underline {x}}{\underline {\phi }}({\underline {z}}),{\underline {z}}\rangle =0.}$

Dunque:

${\displaystyle {\underline {\phi }}({\underline {x}})\|{\underline {z}}\|_{H}=\langle {\underline {x}}{\underline {\phi }}({\underline {z}}),{\underline {z}}\rangle .}$

Si ha così ${\displaystyle {\underline {\phi }}({\underline {x}})=\langle {\underline {x}},{\underline {z}}{\overline {{\underline {\phi }}({\underline {z}})}}\rangle }$ con ${\displaystyle \|{\underline {z}}\|_{H}=1}$, da cui:

${\displaystyle {\underline {\phi }}=\{({\underline {y}},\langle {\underline {y}},{\underline {z}}{\overline {{\underline {\phi }}({\underline {z}})}}\rangle ):{\underline {y}}\in H\}\in \{\{({\underline {y}},\langle {\underline {y}},{\underline {x}}\rangle ):{\underline {y}}\in H\}:{\underline {x}}\in H\}.}$

Note

1. W. Rudin, Pag. 40.
2. W. Rudin, Pag. 41.
3. W. Rudin, Pag. 130.
4. W. Rudin, Pag. 131.
5. Reed, Simon, Pag. 43.
6. Reed, Simon, Pag. 44.

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• (FR) M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. Les Comptes rendus de l'Académie des sciences 144, 1414–1416.
• (FR) F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
• (FR) F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionnelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
• (EN) J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(2) 1984–85, 127–187.
• (EN) P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
• (EN) P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
• (EN) D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277–280 (A category theoretic presentation as natural transformation).

Voci correlate

• Algebra di Borel
• Funzione a supporto compatto
• Misura complessa
• Operatore limitato
• Operatore lineare continuo
• Spazio di Banach
• Spazio di Hausdorff
• Spazio duale
• Spazio di Hilbert
• Spazio localmente compatto

Collegamenti esterni

• Riesz, teorema di rappresentazione di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Springer, Riesz representation theorem, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) proof of Riesz representation theorem, in PlanetMath.