Teorema di Hurwitz (teoria dei numeri)

In teoria dei numeri, il teorema di Hurwitz stabilisce un limite all'approssimazione Diofantea.

Formulato da Adolf Hurwitz, il teorema afferma che per ogni numero irrazionale ξ  esistono infiniti numeri naturali m ed n, primi fra di loro, per cui

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}.}$

L'ipotesi che ξ  sia irrazionale non può essere omessa. Inoltre la costante ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}}$  è la migliore possibile. Se si sostituisce ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}}$  con ogni numero ${\displaystyle \scriptstyle A>{\sqrt {5}}}$  e se si assume  ${\displaystyle \scriptstyle \xi =(1+{\sqrt {5}})/2}$   (la sezione aurea), allora esiste solo un numero finito di interi primi fra di loro per i quali la formula è valida.

Bibliografia

• Hurwitz, A.: Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche (Sull'approssimazione di numeri irrazionali con numeri razionali), Mathematische Annalen, Vol. 39, 1891
• Hardy G. H., Andrew Wiles et al.: An introduction to the Theory of Numbers, Oxford Science Publications, 2008 (Theorem 193), p. 209