Teorema della funzione aperta (analisi funzionale)

In analisi funzionale, il teorema della funzione aperta o teorema dell'applicazione aperta, altrimenti noto come teorema di Banach-Schauder, stabilisce che un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach è una funzione aperta.

Enunciato

Sia ${\displaystyle T:X\to Y}$ un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$. Allora ${\displaystyle T}$ è una funzione aperta, ovvero se ${\displaystyle U}$ è un insieme aperto in ${\displaystyle X}$, allora ${\displaystyle T(U)}$ è aperto in ${\displaystyle Y}$.

Dimostrazione

La dimostrazione fa uso del teorema della categoria di Baire, e si può suddividere in tre parti.

Parte 1

Occorre provare che per ogni ${\displaystyle x\in X}$ e per ogni ${\displaystyle N\subseteq X}$, intorno di ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle T(N)}$ è un intorno di ${\displaystyle Tx}$. Per linearità risulta ${\displaystyle T(x+A)=Tx+T(A)}$ (${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle A\subseteq X}$), per cui è sufficiente provare l'affermazione per ${\displaystyle x=0}$. Poiché un intorno dello zero contiene necessariamente una palla ${\displaystyle B_{r}=B(0,r)}$, è sufficiente provare che per ogni ${\displaystyle r>0}$ esiste un ${\displaystyle r^{\prime }>0}$ tale che ${\displaystyle B_{r^{\prime }}^{Y}\subseteq T(B_{r}^{X})}$. Osserviamo inoltre che ${\displaystyle B_{r}=rB_{1}}$ ed anche, per linearità, che ${\displaystyle T(B_{r}^{X})=rT(B_{1}^{X})}$ per ogni ${\displaystyle r>0}$.

Per la suriettività di ${\displaystyle T}$ si ha:

${\displaystyle Y=\cup _{n=1}^{\infty }T(B_{n})=\cup _{n=1}^{\infty }{\overline {T(B_{n})}}}$.

Per il teorema della categoria di Baire esiste ${\displaystyle {\overline {n}}}$ tale che:${\displaystyle {\overline {T(B_{\overline {n}})}}}$ ha interno non vuoto e pertanto, essendo:

${\displaystyle {\overline {T(B_{\overline {n}})}}={\overline {n}}{\overline {T(B_{1})}}}$

deduciamo che ${\displaystyle {\overline {T(B_{1})}}}$ ha interno non vuoto.

Parte 2

Sia ${\displaystyle W}$ un aperto di ${\displaystyle Y}$ tale che:

${\displaystyle W\subseteq {\overline {T(B_{1})}}}$

Ovviamente ${\displaystyle {\overline {T(B_{1})}}}$ contiene lo zero, ma occorre provare che esiste ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tale che:

${\displaystyle B_{\varepsilon }^{Y}\subseteq {\overline {T(B_{1})}}}$

Siano ${\displaystyle x_{0}\in B_{1}}$ e ${\displaystyle y_{0}=Tx_{0}\in W}$. Poiché l'applicazione ${\displaystyle x\mapsto x-x_{0}}$ è un omeomorfismo, esiste un intorno ${\displaystyle V}$ di zero in ${\displaystyle Y}$ tale che:

${\displaystyle V\subseteq -y_{0}+{\overline {T(B_{1})}}}$

Si ha:

${\displaystyle -y_{0}+T(B_{1})=\left\{-y_{0}+Tw,w\in B_{1}\right\}=\left\{T(w-x_{0}),w\in B_{1}\right\}\subseteq T(B_{2})}$

poiché ${\displaystyle x_{0},w\in B_{1}}$ implica che ${\displaystyle w-x_{0}\in B_{2}}$. Pertanto abbiamo provato che:

${\displaystyle V\subseteq -y_{0}+{\overline {T(B_{1})}}\subseteq {\overline {T(B_{2})}}}$

e quindi:

${\displaystyle {\tilde {V}}\doteq {\frac {1}{2}}V\subseteq {\overline {T(B_{1})}}}$

e ${\displaystyle {\tilde {V}}}$ è un intorno di zero in ${\displaystyle Y}$. Pertanto esiste ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tale che:

${\displaystyle B_{\varepsilon }^{Y}\subseteq {\overline {T(B_{1})}}}$

Parte 3

Si vuole provare che ${\displaystyle {\overline {T(B_{1})}}\subseteq T(B_{2})}$, cosa che conclude la dimostrazione poiché ne segue che ${\displaystyle B_{\frac {\varepsilon }{2}}^{Y}}$ risulta contenuto in ${\displaystyle T(B_{1})}$. Sia ${\displaystyle y\in {\overline {T(B_{1})}}}$. Si scelga ${\displaystyle x_{1}\in B_{1}^{X}}$ tale che ${\displaystyle \|y-Tx_{1}\|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$, cioè ${\displaystyle y-Tx_{1}\in B_{\frac {\varepsilon }{2}}^{Y}}$. Per quanto detto in precedenza risulta:

${\displaystyle B_{\frac {\varepsilon }{2}}^{Y}\subseteq {\overline {T(B_{\frac {1}{2}}^{X})}}}$

quindi possiamo scegliere ${\displaystyle x_{2}\in B_{\frac {1}{2}}^{X}}$ tale che:

${\displaystyle \|y-Tx_{1}-Tx_{2}\|<{\frac {\varepsilon }{4}}}$, cioè ${\displaystyle y-Tx_{1}-Tx_{2}\in B_{\frac {\varepsilon }{4}}^{Y}}$

Iterando il procedimento risulta definita una successione ${\displaystyle (x_{n})}$ in ${\displaystyle X}$ tale che:

${\displaystyle x_{n}\in B_{2^{1-n}}^{X}}$ e ${\displaystyle y-\sum _{j=1}^{n}Tx_{j}\in B_{\varepsilon 2^{1-n}}^{Y}}$

Risulta:

${\displaystyle \left\|\sum _{j=n}^{n+p}x_{j}\right\|<2^{2-n}\ \ \forall n,p\in {\textbf {N}}}$

quindi esiste:

${\displaystyle x=\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}}$

e si ha:

${\displaystyle \|x\|\leq \sum _{j=1}^{\infty }\|x_{j}\|<\sum _{j=1}^{\infty }2^{1-j}=2}$

Quindi ${\displaystyle x\in B_{2}}$ e, per la continuità di ${\displaystyle T}$, risulta ${\displaystyle Tx=y}$. Da ciò segue che

${\displaystyle {\overline {T(B_{1})}}\ni y=Tx\in T(B_{2})}$

ed il teorema è provato.

Corollari

Il teorema della funzione aperta ha due importanti conseguenze:

• Il teorema della funzione inversa afferma che se ${\displaystyle T:X\to Y}$ è un operatore lineare continuo e bigettivo tra gli spazi di Banach ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, allora l'operatore inverso ${\displaystyle T^{-1}:Y\to X}$ è anch'esso continuo.
• Il teorema del grafico chiuso afferma che se ${\displaystyle T:X\to Y}$ è un operatore lineare tra gli spazi di Banach ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, e se per ogni successione ${\displaystyle x_{n}}$ in ${\displaystyle X}$ tale che ${\displaystyle x_{n}\to 0}$ e ${\displaystyle Tx_{n}\to y}$ segue che ${\displaystyle y=0}$, allora ${\displaystyle T}$ è continuo.

Bibliografia

• (EN) Krantz, S. G. "The Open Mapping Theorem." §5.2.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 73-74, 1999.
• (EN) Zeidler, E. Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics. New York: Springer-Verlag, 1995.
• (EN) M. de Wilde, Closed graph theorems and webbed spaces , Pitman (1978)
• (EN) H.H. Schaefer, Topological vector spaces , Springer (1971)
• (EN) H. Jarchow, Locally convex spaces , Teubner (1981)

Voci correlate

• Funzione aperta
• Operatore lineare continuo
• Teorema del grafico chiuso
• Teorema della categoria di Baire
• Teorema della funzione aperta (analisi complessa)