In geometria , dati il numero complesso
z
0
=
x
0
+
i
y
0
{\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}
C
0
=
P
(
z
0
)
{\displaystyle C_{0}=P(z_{0})}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
simmetria centrale di centro
C
0
{\displaystyle C_{0}}
rotazione attorno a
C
0
{\displaystyle C_{0}}
α α -->
=
π π -->
{\displaystyle \alpha =\pi }
S
C
0
: : -->
C
⟶ ⟶ -->
C
z
⟼ ⟼ -->
z
′
=
2
z
0
− − -->
z
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{C_{0}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=2z_{0}-z.\end{aligned}}}
Ricordando che la simmetria di centro
C
0
{\displaystyle C_{0}}
rotazione di centro
C
0
{\displaystyle C_{0}}
α α -->
=
π π -->
{\displaystyle \alpha =\pi }
a
=
− − -->
1
{\displaystyle a=-1}
z
′
=
a
z
+
(
1
− − -->
a
)
z
0
{\displaystyle z'=az+(1-a)z_{0}}
z
′
=
− − -->
1
z
+
(
1
− − -->
(
− − -->
1
)
)
z
0
=
2
z
0
− − -->
z
{\displaystyle z'=-1z+(1-(-1))z_{0}=2z_{0}-z}
Passando in coordinate cartesiane se
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
z
′
=
x
′
+
i
y
′
{\displaystyle z'=x'+iy'}
z
0
=
x
0
+
i
y
0
{\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}
z
′
=
x
′
+
i
y
′
=
2
(
x
0
+
i
y
0
)
− − -->
(
x
+
i
y
)
=
(
2
x
0
− − -->
x
)
+
i
(
2
y
0
− − -->
y
)
{\displaystyle z'=x'+iy'=2(x_{0}+iy_{0})-(x+iy)=(2x_{0}-x)+i(2y_{0}-y)}
{
x
′
=
2
x
0
− − -->
x
y
′
=
2
y
0
− − -->
y
,
{\displaystyle {\begin{cases}x'=2x_{0}-x\\y'=2y_{0}-y,\end{cases}}}
che rappresentano esattamente le equazioni della simmetria centrale nel piano di centro
C
0
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle C_{0}(x_{0},y_{0})}
Esempio
La scrittura complessa della simmetria centrale
S
C
0
{\displaystyle S_{C_{0}}}
z
0
=
2
+
3
i
{\displaystyle z_{0}=2+3i}
z
′
=
2
z
0
− − -->
z
=
2
(
2
+
3
i
)
− − -->
z
=
− − -->
z
+
4
+
6
i
{\displaystyle z'=2z_{0}-z=2(2+3i)-z=-z+4+6i}
Caso particolare
La simmetria
S
0
{\displaystyle S_{0}}
O
(
0
,
0
)
{\displaystyle O(0,0)}
rotazione nel piano di centro l'origine e angolo
α α -->
=
π π -->
{\displaystyle \alpha =\pi }
S
0
≡ ≡ -->
ρ ρ -->
0
,
π π -->
: : -->
C
⟶ ⟶ -->
C
z
⟼ ⟼ -->
z
′
=
− − -->
z
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}\equiv \rho _{0,\pi }\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-z.\end{aligned}}}
Infatti:
z
′
=
− − -->
z
=
ρ ρ -->
[
cos
-->
(
ϑ ϑ -->
+
π π -->
)
+
i
sin
-->
(
ϑ ϑ -->
+
π π -->
)
]
=
ρ ρ -->
e
i
(
ϑ ϑ -->
+
π π -->
)
.
{\displaystyle z'=-z=\rho \left[\cos \left(\vartheta +\pi \right)+i\sin \left(\vartheta +\pi \right)\right]=\rho e^{i\left(\vartheta +\pi \right)}.}
Voci correlate
![{\displaystyle z'=-z=\rho \left[\cos \left(\vartheta +\pi \right)+i\sin \left(\vartheta +\pi \right)\right]=\rho e^{i\left(\vartheta +\pi \right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310c83c9a3d4ef621c1c4f25620638832169b0f6)
