Simmetria assiale nel piano complesso

Lo studio della simmetria assiale nel piano complesso viene proposto attraverso alcuni casi particolari.

Casi particolari

Simmetria rispetto all'asse delle ascisse Ox

La simmetria rispetto all'asse delle ascisse ${\displaystyle Ox}$ è la trasformazione:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'={\overline {z}}\end{aligned}}}$

che associa ad ogni numero complesso ${\displaystyle z}$ il suo complesso coniugato ${\displaystyle z'={\overline {z}}}$.

Infatti, scritto il numero complesso in forma trigonometrica, ${\displaystyle z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )}$, si ottiene che

${\displaystyle z'={\overline {z}}=\rho (\cos(-\vartheta )+i\sin(-\vartheta ))=\rho e^{-i\vartheta }}$

che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di ${\displaystyle z}$ rispetto all'asse delle ascisse ${\displaystyle Ox}$.

Quindi:

passare da un numero complesso ${\displaystyle z}$ al suo coniugato ${\displaystyle {\overline {z}}}$ significa applicare al punto ${\displaystyle P(z)}$ la simmetria rispetto all'asse delle ascisse ${\displaystyle Ox}$.

Simmetria rispetto all'asse delle ordinate Oy

La simmetria rispetto all'asse delle ordinate ${\displaystyle Oy}$ è la trasformazione:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{y}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-{\overline {z}}\end{aligned}}}$

che associa ad ogni numero complesso ${\displaystyle z}$ l'opposto del suo coniugato ${\displaystyle z'=-{\overline {z}}}$.

Infatti se ${\displaystyle z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )}$,

${\displaystyle z'=-{\overline {z}}=e^{i\pi }{\overline {z}}=\rho (\cos(-\vartheta +\pi )+i\sin(-\vartheta +\pi ))=\rho e^{i(-\vartheta +\pi )}}$

che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di ${\displaystyle z}$ rispetto all'asse delle ordinate ${\displaystyle Oy}$

Quindi:

passare da un numero complesso ${\displaystyle z}$ all'opposto del suo coniugato ${\displaystyle -{\overline {z}}}$ significa applicare al punto ${\displaystyle P(z)}$ la simmetria rispetto all'asse delle ordinate ${\displaystyle Oy}$.

Simmetria rispetto alla bisettrice y=x

La trasformazione

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{y=x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=i{\overline {z}}\end{aligned}}}$

che associa ad ogni numero complesso ${\displaystyle z}$ il prodotto ${\displaystyle i{\overline {z}}}$ rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante ${\displaystyle y=x}$.

Infatti se ${\displaystyle z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )}$, la rappresentazione nel piano cartesiano di

${\displaystyle z'=i{\overline {z}}=e^{i{\pi \over 2}}{\overline {z}}=\rho \left(\cos \left(-\vartheta +{\pi \over 2}\right)+i\sin \left(-\vartheta +{\pi \over 2}\right)\right)=\rho e^{i(-\vartheta +{\pi \over 2})}}$

coincide con il simmetrico di ${\displaystyle z}$ rispetto alla bisettrice ${\displaystyle y=x}$.

Quindi:

passare da un numero complesso ${\displaystyle z}$ al prodotto ${\displaystyle i{\overline {z}}}$ significa applicare al punto ${\displaystyle P(z)}$ la simmetria rispetto alla retta ${\displaystyle y=x}$, bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Simmetria rispetto alla bisettrice y=-x

La trasformazione

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{y=-x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-i{\overline {z}}\end{aligned}}}$

che associa ad ogni numero complesso ${\displaystyle z}$ il prodotto ${\displaystyle -i{\overline {z}}}$ rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante ${\displaystyle y=-x}$.

Infatti se ${\displaystyle z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )}$, la rappresentazione nel piano cartesiano di

${\displaystyle z'=-i{\overline {z}}=e^{i{3 \over 2}\pi }{\overline {z}}=\rho \left(\cos \left(-\vartheta +{3 \over 2}\pi \right)+i\sin \left(-\vartheta +{3 \over 2}\pi \right)\right)=\rho e^{i(-\vartheta +{3 \over 2}\pi )}}$

coincide con il simmetrico di ${\displaystyle z}$ rispetto alla bisettrice ${\displaystyle y=-x}$.

Quindi:

passare da un numero complesso ${\displaystyle z}$ al prodotto ${\displaystyle -i{\overline {z}}}$ significa applicare al punto ${\displaystyle P(z)}$ la simmetria rispetto alla retta ${\displaystyle y=-x}$, bisettrice del secondo e del quarto quadrante.

Simmetria rispetto alla retta y=y₀

Dato ${\displaystyle \omega _{0}=2y_{0}i}$, la trasformazione

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{y=y_{0}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'={\overline {z}}+\omega _{0}={\overline {z}}+2y_{0}i\end{aligned}}}$

che associa ad ogni numero complesso ${\displaystyle z}$ il numero complesso ${\displaystyle {\overline {z}}+2y_{0}i}$ rappresenta la simmetria rispetto alla retta ${\displaystyle y=y_{0}}$.

Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione di coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle ${\displaystyle x}$, e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.

Se ${\displaystyle z=x+iy}$, allora

${\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}$

e

${\displaystyle {\overline {z}}+2y_{0}i=x-iy+2y_{0}i=x+i(2y_{0}-y)}$

il che equivale a

${\displaystyle {\begin{cases}x'=x\\y'=2y_{0}-y,\end{cases}}}$

equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta ${\displaystyle y=y_{0}}$.

Quindi:

passare da un numero complesso ${\displaystyle z}$ al numero complesso ${\displaystyle z'={\overline {z}}+2y_{0}i}$ significa applicare al punto ${\displaystyle P(z)}$ la simmetria rispetto alla retta di equazione ${\displaystyle y=y_{0}}$.

Simmetria rispetto alla retta x=x₀

Dato ${\displaystyle t=2x_{0}i}$, la trasformazione

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x=x_{0}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-{\overline {z}}+t=-{\overline {z}}+2x_{0}\end{aligned}}}$

che associa ad ogni numero complesso ${\displaystyle z}$ il numero complesso ${\displaystyle -{\overline {z}}+2x_{0}i}$ rappresenta la simmetria rispetto alla retta ${\displaystyle x=x_{0}}$.

Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione dell'opposto del coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle ${\displaystyle y}$, e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.

Se ${\displaystyle z=x+iy}$, allora

${\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}$

e

${\displaystyle -{\overline {z}}+2x_{0}i=-x+iy+2x_{0}i=(2x_{0}-x)+iy}$

il che equivale a

${\displaystyle {\begin{cases}x'=2x_{0}-x\\y'=y,\end{cases}}}$

equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta ${\displaystyle x=x_{0}}$.

Quindi:

passare da un numero complesso ${\displaystyle z}$ al numero complesso ${\displaystyle z'=-{\overline {z}}+2x_{0}}$ significa applicare al punto ${\displaystyle P(z)}$ la simmetria rispetto alla retta di equazione ${\displaystyle x=x_{0}}$.

Voci correlate

• Simmetria assiale
• Traslazione (geometria)
• Traslazione nel piano complesso
• Trasformazione geometrica piana