Rotomotetia

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In geometria, una rotomotetia^[1] (o similitudine a spirale) è una trasformazione geometrica del piano o dello spazio definita dalla composizione di una rotazione e di un'omotetia aventi lo stesso centro.

Poiché le due trasformazioni condividono il medesimo centro, la loro composizione è commutativa: applicare prima la rotazione e poi l'omotetia produce lo stesso risultato del processo inverso.

Una similitudine spirale è una similitudine diretta. Le sue caratteristiche fondamentali sono:

• centro di similitudine: se il fattore di scala k dell'omotetia è diverso da 1, la trasformazione ammette un unico punto fisso O, detto centro della similitudine;
• conservazione della forma: è una trasformazione conforme: conserva gli angoli orientati e i rapporti tra le distanze, trasformando ogni figura piana in una figura ad essa simile;
• traiettoria: applicando ripetutamente una similitudine spirale a un punto P, la successione dei punti generati giace su una spirale logaritmica avente il polo nel centro O.

Dati due segmenti orientati non paralleli AB e A'B', esiste un'unica similitudine spirale che mappa A ad A' e B ad B'. Il centro O si determina sinteticamente mediante l'intersezione di circonferenze: 1. Si traccia la retta passante per A e A' e la retta passante per B e B', individuando il loro punto d'intersezione P. 2. Si costruisce la circonferenza passante per A, B e P, e la circonferenza passante per A', B' e P. 3. Il secondo punto di intersezione tra le due circonferenze (oltre al punto P) definisce il centro di similitudine O.

• H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2ª ed., New York, John Wiley & Sons, 1969, ISBN 978-0-471-50458-0.
• I.M. Yaglom, Geometric Transformations II, Washington D.C., Mathematical Association of America, 1962, ISBN 978-0-88385-608-6.

• Omotetia
• Rotazione
• Similitudine (geometria)
• Spirale logaritmica
• Numero complesso

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