Omotetia

In matematica, in particolare in geometria, un'omotetia (composto dai termini greci homós, "simile" e títhemi, "pongo") è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae i segmenti, e quindi gli oggetti, a partire da un punto detto centro dell'omotetia. Le lunghezze variano in proporzione, mentre gli angoli restano invariati e si mantiene perciò la "forma" (nel senso intuitivo del termine) degli oggetti, come nelle similitudini, di cui è infatti un caso particolare.

L'uso di tale termine è relativamente nuovo, figurando la prima volta con Michel Chasles nel 1827.

Definizione

Esempio grafico: omotetia di centro ${\displaystyle A}$ e di rapporto ${\displaystyle \scriptstyle -{1 \over 2}.}$

Corrispondenza omotetica tra due proiezioni complanari di una sezione di un cono quadrico eseguita con un piano parallelo al piano di proiezione.

Un'omotetia di centro ${\displaystyle A}$ e di rapporto ${\displaystyle c}$ (numero reale diverso da zero) è una trasformazione dello spazio euclideo secondo cui un qualsiasi punto ${\displaystyle P}$ dello spazio viene spostato, sulla semiretta ${\displaystyle AP}$ se ${\displaystyle c}$ positivo o sulla semiretta ${\displaystyle PA}$ se ${\displaystyle c}$ negativo, in modo che la sua distanza da ${\displaystyle A}$ cambi secondo il fattore costante ${\displaystyle |c|}$.

Nell'esempio grafico a fianco ${\displaystyle c=-{1 \over 2}}$ , quindi il punto ${\displaystyle P}$ viene trasformato in ${\displaystyle P'}$ sulla semiretta ${\displaystyle PA}$ (ovvero la semiretta che origina in ${\displaystyle P}$ e va verso ${\displaystyle A}$) tale che ${\displaystyle {\overline {AP'}}={1 \over 2}{\overline {AP}}}$.

Questa trasformazione geometrica è anche chiamata con termini più familiari:

• dilatazione, se ${\displaystyle |c|>1;}$
• contrazione, se ${\displaystyle 0<|c|<1;}$
• se ${\displaystyle c=1}$ si ottiene l'identità, cioè la trasformazione nella quale ogni punto corrisponde a se stesso;
• se ${\displaystyle c=-1}$ si ottiene la simmetria centrale di centro ${\displaystyle A}$ o la rotazione di centro ${\displaystyle A}$ pari a un angolo piatto

L'omotetia è una particolare similitudine, ma non è vero il viceversa, infatti nelle omotetie il centro ${\displaystyle A}$, un generico punto ${\displaystyle P}$ e il suo trasformato ${\displaystyle P'}$ sono sempre allineati, mentre nelle similitudini è richiesto solo che si mantenga costante il rapporto tra le lunghezze.

Definizione tramite vettori

Mediante i vettori, l'omotetia di centro ${\displaystyle A}$ e di rapporto ${\displaystyle c\neq 0}$ si definisce come la trasformazione geometrica che porta ogni punto ${\displaystyle P}$ nell'unico punto ${\displaystyle P'}$ soluzione dell'equazione vettoriale:

${\displaystyle {\overrightarrow {AP'}}=c\cdot {\overrightarrow {AP}}.}$

Molto spesso si dice che l'omotetia sia diretta o inversa secondo che ${\displaystyle c}$ sia positivo o negativo, tuttavia si tratta sempre di una proporzionalità diretta tra lunghezze.

Proprietà

Una omotetia moltiplica tutte le distanze per ${\displaystyle |c|}$, di conseguenza tutte le aree per ${\displaystyle |c|^{2}}$ (o ${\displaystyle c^{2}}$) e tutti i volumi per ${\displaystyle |c|^{3}}$.

Se ${\displaystyle c\neq 1}$ (cioè se non è un'identità), allora l'unico punto unito è il punto ${\displaystyle A}$ e le uniche rette unite sono quelli passanti per ${\displaystyle A}$ (si dice "unito" un ente geometrico che, a seguito di una trasformazione geometrica del piano o dello spazio, rimane sé stesso).

Algebra lineare

Un'omotetia è una trasformazione affine, definita in uno spazio euclideo di dimensione qualsiasi.

Se il centro ${\displaystyle A}$ dell'omotetia coincide con l'origine dello spazio, allora l'omotetia è una trasformazione lineare, la cui matrice associata rispetto ad una qualunque base è data dalla matrice identità moltiplicata per il fattore ${\displaystyle c}$, ovvero dalla matrice diagonale avente tutti gli elementi della diagonale principale pari a ${\displaystyle c}$.

Voci correlate

• Similitudine (geometria)
• Isometria
• Rotazione (matematica)
• Traslazione (geometria)
• Riflessione (geometria)
• Auto similarità

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Omotetia, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• OMOTETIA, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1935.
• omotetia, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• Omotetìa, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• omotetìa, su sapere.it, De Agostini.
• (EN) Eric W. Weisstein, Homothecy, su MathWorld, Wolfram Research.

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