Nelle operazioni di ricerca dei bersagli con il sonar, il più delle volte, le tracce dei segnali [1] sullo schermo video si confondono con le tracce dei disturbi dovuti al rumore del mare.
In tali condizioni la scoperta dei bersagli non è una cosa certa ma dipende da variabili di carattere probabilistico; in una percentuale x del tempo d'osservazione le tracce dei bersagli saranno visibili, in altra percentuale y del tempo saranno valutate erroneamente come segnali la tracce provocata dal rumore.
La probabilità di scoperta sonar è legata a coppie di variabili probabilistiche P r i v . {\displaystyle Priv.} [N 1] e P f a . {\displaystyle Pfa.} [N 2][2]. e al tempo d’osservazione che l’operatore pone nella conduzione del processo di rivelazione.
Le variabili entrano in gioco nei ricevitori sonar dotati di processori in correlazione[3] nelle fasi di contatto con un bersaglio quando il rumore ambiente è sensibile.
Nel calcolo della portata di scoperta di un sonar passivo giocano un ruolo primario le due variabili probabilistiche P r i v . {\displaystyle Priv.} e P f a . {\displaystyle Pfa.} in dipendenza, tramite il parametro ROC [2][4], indicato con la lettera ( d ) {\displaystyle (d)} .
Il parametro ( d ) {\displaystyle (d)} è funzione di tre variabili che caratterizzano il ricevitore del sonar:
la prima è relativa al rapporto ( S i / N i ) {\displaystyle (Si/Ni)} misurato all'ingresso [N 3], la seconda interessa la larghezza di banda B W {\displaystyle BW} , infine la terza legata al tempo d'integrazione R C {\displaystyle RC} [N 4] secondo l'espressione:.
d = 2 ⋅ B W ⋅ R C ⋅ ( S i / N i ) 4 {\displaystyle d=2\cdot BW\cdot RC\cdot (Si/Ni)^{4}} [N 5] [N 6]:
Ad ogni valore del parametro d {\displaystyle d} corrispondono innumerevoli coppie di P r i v . {\displaystyle Priv.} (Probabilità di rivelazione) e P f a . {\displaystyle Pfa.} (Probabilità di falso allarme) deducibili dalle curve ROC.
L'andamento del parametro ROC espresso con la lettera d {\displaystyle d} , come funzione del rapporto ( S i / N i ) {\displaystyle (Si/Ni)} [N 7] , ad esempio per le variabili B W = 7000 H z {\displaystyle BW=7000\ Hz} e R C = 0.1 s {\displaystyle RC=0.1\ s} , è tracciabile in coordinate lineari logaritmiche:
Le ascisse in scala lineare si possono estendere per un campo di variabilità di S i / N i {\displaystyle Si/Ni} tra S i / N i = − 20 d B {\displaystyle Si/Ni=-20\ dB} a S i / N i = 0 d B {\displaystyle Si/Ni=0\ dB} .
Le ordinate in scala logaritmica a tre decadi si possono estendere da d = 0.1 {\displaystyle d=0.1} a d = 100 {\displaystyle d=100} .
Variando S i / N i {\displaystyle Si/Ni} tra − 20 d B {\displaystyle -20\ dB} e ≈ − 6 d B {\displaystyle \approx -6\ dB} il valore della funzione d {\displaystyle d} varia da un minimo di d = 0.15 {\displaystyle d=0.15} ad un massimo di d = 99.99999 {\displaystyle d=99.99999} ; ad ogni possibile valore del d {\displaystyle d} sono associabili, secondo le curve ROC, innumerevoli coppie di P r i v . {\displaystyle Priv.} e P f a . {\displaystyle Pfa.}
Se nelle curve ROC assumiamo per esempio d = 2 {\displaystyle d=2} , e con esso la coppia P r i v . = 50 % {\displaystyle Priv.=50\%} e P f a . = 10 % {\displaystyle Pfa.=10\%} , possiamo stabilire il punto, di coordinate S i / N i = − 14 d B {\displaystyle Si/Ni=-14\ dB} e d = 2 {\displaystyle d=2} a significare che con un rapporto S i / N i = − 14 d B {\displaystyle Si/Ni=-14\ dB} , con B W = 7000 H z {\displaystyle BW=7000\ Hz} e R C = 0.1 s {\displaystyle RC=0.1\ s} , è possibile, una volta regolato il livello di soglia [N 8], avere il 50 % {\displaystyle 50\%} di scoperta con un 10 % {\displaystyle 10\%} di falso allarme.
Se a seguito di una variazione del rapporto ( S i / N i ) {\displaystyle (Si/Ni)} , ed una conseguente variazione del parametro d {\displaystyle d} , la coppia P r i v . {\displaystyle Priv.} e P f a . {\displaystyle Pfa.} sopra indicata cambia, tale cambiamento può essere compensato agendo sul tempo di osservazione (valore della costante del tempo R C {\displaystyle RC} d'integrazione del ricevitore in correlazione)
Il valore della costante di tempo R C {\displaystyle RC} può essere variato per ottimizzare la ricerca dei bersagli in dipendenza del loro comportamento dinamico; per questa operazione è necessaria l'analisi della funzione d = f ( S i / N i ) {\displaystyle d=f(Si/Ni)} parametrizzata R C {\displaystyle RC}
Il legame tra d {\displaystyle d} ed R C {\displaystyle RC} è esplicitato tracciando una famiglia di curve relative alla funzione d = f ( S i / N i ) {\displaystyle d=f(Si/Ni)} con parametro R C {\displaystyle RC} variabile secondo i valori:
così come indicato nel grafico delle curve parametriche R C {\displaystyle RC}
La retta orizzontale rossa tracciata, ad esempio, per d = 9 {\displaystyle d=9}
e P r i v . = 96 % ; P f a = 10 % {\displaystyle Priv.=96\%\ ;\ Pfa=10\%} [N 9] evidenzia che per ben 12 {\displaystyle 12} funzioni d = f ( S i / N i ) {\displaystyle d=f(Si/Ni)} , tracciate per i citati parametri R C {\displaystyle RC} , il valore d = 9 {\displaystyle d=9} può essere mantenuto al variare di S i / N i {\displaystyle Si/Ni} , purché si assegni l'adatto valore della costante d'integrazione R C {\displaystyle RC} ; il mantenimento del valore del d {\displaystyle d} assicura l'esistenza della coppia P r i v . = 96 % {\displaystyle Priv.=96\%} e P f a . = 10 % {\displaystyle Pfa.=10\%} come voluto.
Per rapporto S i / N i = − 12 d B {\displaystyle Si/Ni=-12\ dB}
Con un rapporto S i / N i = − 12 d B {\displaystyle Si/Ni=-12\ dB} ( discreto rapporto segnale disturbo ) e con R C ≈ 0.2 s {\displaystyle RC\approx 0.2\ s} si hanno, per d = 9 {\displaystyle d=9} , le seguenti probabilità di scoperta e di falso allarme indicate: ( P r i v . = 96 % ) {\displaystyle (Priv.=96\%)} ( P f a . = 10 % ) {\displaystyle (Pfa.=10\%)} . In queste condizioni, dato il basso valore di R C {\displaystyle RC} , la risposta del ricevitore è rapida e si possono inseguire bersagli che scadono velocemente[N 10].
Per rapporto S i / N i = − 18 d B {\displaystyle Si/Ni=-18\ dB}
Con un rapporto S i / N i = − 18 d B {\displaystyle Si/Ni=-18\ dB} ( cattivo rapporto segnale disturbo ) per ottenere le probabilità di scoperta e falso allarme del caso precedente il valore di R C {\displaystyle RC} deve essere aumentato da 0.2 s {\displaystyle 0.2\ s} a ≈ 3 s {\displaystyle \approx 3\ s} riducendo notevolmente la velocità di risposta del ricevitore che in questo caso non consente l'inseguimento di bersagli veloci.