Operatore ipoellittico

In matematica, in particolare nell'ambito dello studio delle equazioni alle derivate parziali, un operatore differenziale parziale ${\displaystyle P}$ definito su un aperto ${\displaystyle U\subset {\mathbb {R} }^{n}}$ è un operatore ipoellittico se, per ogni distribuzione ${\displaystyle u}$ definita su un aperto ${\displaystyle V\subset U}$ tale per cui ${\displaystyle Pu}$ è di classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ (cioè una funzione liscia), si verifica che anche ${\displaystyle u}$ deve essere di classe ${\displaystyle C^{\infty }}$.

Se tale richiesta è soddisfatta quando, invece che funzioni di classe ${\displaystyle C^{\infty }}$, si richiede che ${\displaystyle Pu}$ e ${\displaystyle u}$ siano una funzione analitica reale, allora ${\displaystyle P}$ è detto "ipoellittico analitico" (analytically hypoelliptic).

Ogni operatore ellittico con coefficienti di classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ è ipoellittico. In particolare, l'operatore di Laplace è un esempio di operatore ipoellittico (e ipoellittico analitico). L'equazione del calore:

${\displaystyle P(u)=u_{t}-k\Delta u\qquad k>0}$

è ipoellittica ma non ellittica, mentre l'equazione delle onde:

${\displaystyle P(u)=u_{tt}-c^{2}\Delta u\qquad c\neq 0}$

non è ipoellittica.

Bibliografia

• (EN) Norio Shimakura, Partial differential operators of elliptic type: translated by Norio Shimakura, American Mathematical Society, Providence, R.I, 1992, ISBN 0-8218-4556-X.
• (EN) Yu. V. Egorov e Schulze, Bert-Wolfgang, Pseudo-differential operators, singularities, applications, Birkhäuser, 1997, ISBN 3-7643-5484-4.
• (EN) V. S. Vladimirov, Methods of the theory of generalized functions, Taylor & Francis, 2002, ISBN 0-415-27356-0.
• (EN) G. B. Folland, Fourier Analysis and its applications, AMS, 2009, ISBN 0-8218-4790-2.

Voci correlate

• Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica
• Lemma di Weyl

Collegamenti esterni

• (EN) Hypoelliptic, in PlanetMath.