Rasmussen ha militato nelle giovanili del Næsby, dal 2001 al 2012. È successivamente entrato in quelle dell'Odense, con cui ha firmato un contratto in data 16 ottobre 2012.[2] Il 1º settembre 2014 è stato ceduto ai tedeschi dello Schalke 04.[3]
St. Pauli
Il 27 giugno 2016, il St. Pauli ha reso noto d'aver ingaggiato Rasmussen, che ha firmato un contratto quadriennale con la nuova squadra.[4] Il danese ha trovato spazio soltanto nella squadra riserve, militante in Regionalliga: il 31 luglio ha giocato la prima partita, schierato titolare nel 3-1 inflitto allo Germania Egestorf/Langreder.[5] Il 26 novembre successivo, nella sfida di ritorno contro lo Germania Egestorf/Langreder, ha trovato la prima rete per questa squadra, attraverso cui ha contribuito al pareggio esterno per 3-3.[6]
Si è accomodato in panchina in due circostanze, in prima squadra: in occasione della 10ª e della 17ª giornata della 2. Bundesliga 2016-2017, rispettivamente nelle sfide contro Sandhausen e Bochum.[7]
Rosenborg
Il 6 gennaio 2017, i norvegesi del Rosenborg hanno annunciato sul loro sito internet di aver ingaggiato Rasmussen, che si è legato al nuovo club con un contratto quadriennale,[8] scegliendo la maglia numero 5.[8]
Il 29 marzo successivo ha effettuato il proprio esordio in squadra, schierato titolare in occasione del Mesterfinalen 2017, che il Rosenborg si è aggiudicato grazie al successo per 2-0 sul Brann.[9] Il 5 aprile ha debuttato in Eliteserien, schierato titolare nella vittoria per 0-3 sul campo del Sandefjord.[10]
Empoli
Il 5 luglio 2018, l'Empoli ha reso noto l'ingaggio di Rasmussen, arrivato a titolo definitivo firmando un contratto quadriennale.[11] Esordisce il 12 agosto in Coppa Italia, nella partita col Cittadella, persa per 3-0. Sette giorni dopo esordisce anche in serie A, nella partita col Cagliari vinta per 2-0.[12]
Fiorentina e prestiti a Erzgebirge Aue, Vitesse e Feyenoord
Il 31 gennaio 2019 viene acquistato dalla Fiorentina che decide di lasciarlo in prestito all’Empoli fino a giugno.[13]
A fine anno si trasferisce a Firenze, dove tuttavia non trova mai spazio e il 14 gennaio 2020 viene ceduto in prestito all'Erzgebirge Aue, club militante in Zweite Liga, la seconda divisione del campionato tedesco.[14]
Terminato il prestito viene nuovamente ceduto a titolo temporaneo al Vitesse.[15]
Il 14 luglio 2023, Rasmussen fa ritorno in patria, venendo acquistato per circa tre milioni di euro dal Brøndby,[18] con cui sigla un contratto quadriennale.[19][20]