Indice di Cauchy

L'indice di Cauchy, così chiamato in onore di Augustin-Louis Cauchy, è definito per ogni funzione razionale reale ${\displaystyle R(x)}$ su un intervallo ${\displaystyle (a,b)}$ come

${\displaystyle I_{a}^{b}R(x)=J_{-}^{+}-J_{+}^{-}}$

dove ${\displaystyle J_{-}^{+}}$ è il numero di salti da ${\displaystyle -\infty }$ a ${\displaystyle +\infty }$ di ${\displaystyle R(x)}$ sull'intervallo ${\displaystyle (a,b)}$, mentre ${\displaystyle J_{+}^{-}}$ è il numero di salti da ${\displaystyle +\infty }$ a ${\displaystyle -\infty }$ di ${\displaystyle R(x)}$ sull'intervallo ${\displaystyle (a,b)}$.

In altre parole ogni polo reale di ${\displaystyle R(x)}$ su ${\displaystyle (a,b)}$ contribuisce con peso 1 all'indice di Cauchy se ${\displaystyle R(x)\rightarrow -\infty }$ alla sinistra del polo e ${\displaystyle R(x)\rightarrow +\infty }$ alla destra del polo, e con peso -1 se viceversa.

Proprietà

${\displaystyle I_{a}^{b}R(x)=-I_{a}^{b}[-R(x)]}$