Polo (analisi complessa)

Il modulo della funzione Gamma con alcuni poli.

In matematica, e in particolare in analisi complessa, per polo di una funzione olomorfa ${\displaystyle f(z)}$, si intende una singolarità isolata ${\displaystyle z_{0}}$ della funzione per cui

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}|f(z)|=+\infty .}$

Il polo si distingue dalla singolarità eliminabile e dalla singolarità essenziale, per le quali tale limite rispettivamente è finito e non esiste.

La conoscenza delle caratteristiche dei poli di una funzione olomorfa consente di determinare molte delle sue caratteristiche; inoltre lo studio dei poli è fondamentale nel calcolo dei residui.

Serie di Laurent

Una definizione equivalente può essere data tramite serie di Laurent. Una singolarità isolata ${\displaystyle z_{0}}$ è un polo se e solo se lo sviluppo locale in serie di Laurent è del tipo

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}+{\frac {b_{1}}{z-z_{0}}}+\cdots +{\frac {b_{k}}{\left(z-z_{0}\right)^{k}}},}$

con ${\displaystyle b_{k}\neq 0}$, per qualche ${\displaystyle k>0}$.

In altre parole, una singolarità isolata è un polo se e solo se la parte principale della serie di Laurent in un intorno bucato della singolarità è costituita da un numero finito di termini, cioè se i coefficienti con apice ${\displaystyle i}$ negativo sono un numero finito ${\displaystyle k}$ diverso da zero:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-k}^{+\infty }a_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}.}$

Ordine del polo

L'ordine del polo è il numero naturale ${\displaystyle k}$ di termini che costituiscono la parte principale della serie di Laurent. Analogamente, ${\displaystyle z_{0}}$ è un polo se per qualche ${\displaystyle h>0}$ il limite:

${\displaystyle b_{h}=\lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)\left(z-z_{0}\right)^{h},}$

esiste, è finito ed è diverso da zero. In questo caso la funzione ha nel punto ${\displaystyle z_{0}}$ un polo di ordine ${\displaystyle h}$.

Esempi

Una funzione

${\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}},}$

dove ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ sono polinomi senza radici in comune (quindi la funzione è ridotta ai minimi termini), è definita su

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z_{1},\ldots ,z_{n}\},}$

dove ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ sono le radici di ${\displaystyle q}$. Ciascuno di questi punti è un polo, il cui ordine è pari alla molteplicità della radice. Ad esempio,

${\displaystyle f(z)={\frac {z+1}{z(z-1)^{2}}},}$

ha un polo di ordine ${\displaystyle 1}$ in ${\displaystyle 0}$ ed un polo di ordine ${\displaystyle 2}$ in ${\displaystyle 1}$.

La funzione

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sin x}},}$

è definita su

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{k\pi \ |\ k\in \mathbb {Z} \},}$

ed ha un polo di ordine uno su ogni punto ${\displaystyle k\pi }$. Ha quindi infiniti poli.

Funzione meromorfa

Una funzione olomorfa ${\displaystyle f}$ avente poli nei punti ${\displaystyle z_{1},\ldots z_{n}}$ può essere considerata come una funzione il cui dominio comprende anche questi punti, il cui codominio è la sfera di Riemann ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$: è sufficiente imporre ${\displaystyle f(z_{i})=\infty }$. Il risultato di questa operazione è una funzione meromorfa.

Voci correlate

• Zero (analisi complessa)
• Residuo (analisi complessa)
• Funzione meromorfa
• Indicatore logaritmico

Collegamenti esterni

• funzione olomorfa, polo di una, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Polo, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Polo, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.