Identità di Ward-Takahashi

In teoria quantistica dei campi, una identità di Ward–Takahashi è una identità tra funzioni di correlazione che è una conseguenza delle simmetrie globali o di gauge della teoria, e che rimane valida dopo la rinormalizzazione.

L'identità di Ward–Takahashi dell'elettrodinamica quantistica (QED) fu originariamente usata da John Clive Ward^[1] e Yasushi Takahashi^[2] per mettere in relazione la rinormalizzazione della funzione d'onda dell'elettrone al fattore di rinormalizzazione del vertice, garantendo la cancellazione della divergenza ultravioletta a ogni ordine in teoria delle perturbazioni. Successivamente sono state utilizzate anche per l'estensione della dimostrazione del teorema di Goldstone a tutti gli ordini in teoria delle perturbazioni.

Più generalmente, un'identità di Ward-Takahashi è la versione quantistica della conservazione della corrente classica associata a una simmetria continua per mezzo del teorema di Noether. Tali simmetrie in teoria quantistiche dei campi danno (quasi) sempre origine a queste identità di Ward-Takahashi generalizzate che impongono la simmetria a livello delle ampiezze quantistiche. Questo senso generalizzato dovrebbe distinto quando si legge la letteratura, come il libro di testo di Michael Peskin e Daniel Schroeder,^[3] dall'identità di Ward–Takahashi originale.

Le identità di Ward-Takahashi valgono nella QED, una teoria di gauge abeliana. Nelle teorie non abeliane come la cromodinamica quantistica (QCD), le identità corrispondenti sono le identità di Slavnov-Taylor.

Identità di Ward-Takahashi

L'identità di Ward-Takahashi si applica alle funzioni di correlazione nello spazio degli impulsi, che non hanno necessariamente tutti i loro impulsi esterni on-shell. Sia

${\displaystyle {\mathcal {M}}(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})}$

una funzione di correlazione in QED che coinvolge un fotone esterno con impulso k (dove ${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$ è il vettore di polarizzazione del fotone ed è implicita la somma su ${\displaystyle \mu =0,\ldots ,3}$), n elettroni allo stato iniziale con impulsi ${\displaystyle p_{1}\cdots p_{n}}$, e n elettroni allo stato finale con impulsi ${\displaystyle q_{1}\cdots q_{n}}$. Si definisce anche ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ come l'ampiezza più semplice che si ottiene rimuovendo il fotone con impulso k dall'ampiezza originale. Allora l'identità di Ward–Takahashi è

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=e\sum _{i}\left[{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots (q_{i}-k)\cdots q_{n})\right.\\\left.{}-{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots (p_{i}+k)\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})\right]\end{aligned}}}$

dove e è la carica dell'elettrone e ha segno negativo. Si noti che se ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ha i suoi elettroni esterni on-shell, allora le ampiezze sul membro di destra di questa identità hanno ciascuna una particella esterna off-shell, e pertanto non contribuiscono agli elementi della matrice S.

Identità di Ward

L'identità di Ward è un caso particolare dell'identità di Ward–Takahashi applicata agli elementi della matrice S, che descrivono i processi di scattering fisicamente possibili e quindi hanno tutte le loro particelle esterne on-shell. Sia ancora ${\displaystyle {\mathcal {M}}(k)=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k)}$ l'ampiezza per un certo processo di QED che coinvolge un fotone esterno con impulso ${\displaystyle k}$, dove ${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$ è il vettore di polarizzazione del fotone. Allora l'identità di Ward si scrive:

${\displaystyle k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k)=0}$

Fisicamente, ciò che questa identità significa è che la polarizzazione longitudinale del fotone che nasce nel termine di ξ gauge non è fisico e sparisce dalla matrice S.

Tra gli esempi di questo si annoverano il vincolo alla struttura tensoriale della polarizzazione del vuoto e della funzione vertice dell'elettrone in QED.

Identità di Slavnov-Taylor

Le identità di Slavnov–Taylor sono la generalizzazione delle identità di Ward–Takahashi alle teorie di gauge non abeliane.^[4] Queste identità sono state originariamente scoperte da Gerard 't Hooft,^[5] e prendono il nome da Andrei Slavnov e John Clayton Taylor che le hanno riformulate per farle valere anche off-shell.^[6][7]

Note

1. John Clive Ward, An Identity in Quantum Electrodynamics, in Physical Review, vol. 78, n. 2, 1950, p. 182, Bibcode:1950PhRv...78..182W, DOI:10.1103/PhysRev.78.182.
2. Yasushi Takahashi, On the generalized ward identity, in Il Nuovo Cimento, vol. 6, n. 2, 1957, pp. 371-375, Bibcode:1957NCim....6..371T, DOI:10.1007/BF02832514.
3. Michael E. Peskin e Daniel V. Schroeder, "The Ward-Takahashi identity", in An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press, 1995, ISBN 978-0-201-50397-5.
4. Weinberg, Steven, The quantum theory of fields, vol. 2, Cambridge University Press, 1995, p. 76, ISBN 9780521550024.
5. 't Hooft, G., Renormalization of Massless Yang-Mills Fields, in Nucl. Phys. B, vol. 33, n. 1, 1971, pp. 173-199, Bibcode:1971NuPhB..33..173T, DOI:10.1016/0550-3213(71)90395-6.
6. Taylor, J. C., Ward identities and charge renormalization of the Yang-Mills field, in Nucl. Phys. B, vol. 33, n. 2, 1971, pp. 436-444, Bibcode:1971NuPhB..33..436T, DOI:10.1016/0550-3213(71)90297-5.
7. Slavnov, A. A., Ward identities in gauge theories, in Theoretical and Mathematical Physics, vol. 10, n. 2, 1972, pp. 99-104, Bibcode:1972TMP....10...99S, DOI:10.1007/BF01090719.