Giovanni Alberti ha dimostrato alcuni teoremi che giocano un ruolo notevole nell'Analisi Matematica contemporanea.
In particolare:
Nel 1989 ha dimostrato[2] un risultato molto sorprendente, e di sapore classico, che afferma che dato un qualsiasi campo vettoriale di Borel e una qualsiasi quantità positiva assegnata a priori, esiste una funzione differenziabile il cui gradiente coincide con il campo assegnato al di fuori di un insieme misurabile, la cui misura è minore della quantità positiva assegnata in partenza. Questo risultato gioca un ruolo importante nella dimostrazione di vari teoremi di rilassamento nel Calcolo delle Variazioni[3].
Nel 1993 ha risolto in positivo[4] un'importante congettura[5] di Ennio De Giorgi e Luigi Ambrosio, dimostrando che la matrice polare (di densità) della parte singolare della derivata di una funzione a variazione limitata ha rango uno quasi ovunque, rispetto alla parte singolare stessa. La dimostrazione è basata su alcune tecniche innovative di teoria della misura e usa a fondo il concetto di misura tangente. Questo teorema è oggi noto come "Teorema Rango uno di Alberti" ed è alla base della dimostrazione di vari delicati risultati. Ad esempio, l'esistenza di soluzioni rinormalizzate per l'equazione del trasporto con coefficienti a variazione limitata[6].
Successivamente Giovanni Alberti si è dedicato a varie questioni di analisi reale, di Teoria Geometrica della Misura, del calcolo delle variazioni e delle sue applicazioni, con particolare attenzione all'uso della Gamma convergenza nella costruzione di modelli variazionali per problemi di transizione di fase. Di rilievo sono i suoi lavori sul funzionale di Ginzburg-Landau[7] e sui problemi di transizione di fase[8][9].
Note
^Premio Caccioppoli (archiviato dall'url originale il 20 gennaio 2012). dal sito UMI
