Funzione test (ottimizzazione)

Le funzioni test sono delle funzioni pensate e utilizzate per testare il funzionamento e l'efficienza degli algoritmi di ottimizzazione. Gli aspetti dell'algoritmo che tipicamente interessa mettere alla prova sono la velocità di convergenza, la precisione del risultato e la robustezza dell'algoritmo. Le funzioni test sono spesso problemi artificiali che mettono alla prova gli algoritmi in situazioni particolarmente scomode, ad esempio nella ricerca di minimi in funzioni particolarmente piatte (come un punto di minimo di una funzione continua nel quale si annullano molte derivate successive), funzioni il cui comportamento globale approssima quello di una funzione unimodale ma che in realtà presenta altri estremi locali, funzioni con un gran numero di punti di ottimo locali significativi, o funzioni il cui andamento globale non fornisce indicazioni significative sulla posizione dei punti di ottimo.^[1]

Nel seguito sono riportate alcune tra le più note funzioni test con una espressione in forma generale e le loro principali caratteristiche.

Principali funzioni test

Le funzioni test presentate nel seguito sono riportate in Bäck,^[2] Haupt et. al.^[3] e dalla libreria software di Rody Oldenhuis.^[4]

Nome	Grafico	Espressione	Minimo	Dominio di ricerca
Funzione di Ackley		${\displaystyle f(x,y)=-20\exp \left(-0.2{\sqrt {0.5\left(x^{2}+y^{2}\right)}}\right)}$ ${\displaystyle -\exp \left(0.5\left(\cos \left(2\pi x\right)+\cos \left(2\pi y\right)\right)\right)+20+e.\quad }$	${\displaystyle f(0,0)=0}$	${\displaystyle -5\leq x,y\leq 5}$
Funzione sferica		${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}.\quad }$	${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=f(0,\dots ,0)=0}$	${\displaystyle -\infty \leq x_{i}\leq \infty }$, ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$
Funzione di Rosenbrock		${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n-1}\left[100\left(x_{i+1}-x_{i}^{2}\right)^{2}+\left(x_{i}-1\right)^{2}\right].\quad }$	${\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}n=2&\rightarrow \quad f(1,1)=0,\\n=3&\rightarrow \quad f(1,1,1)=0,\\n>3&\rightarrow \quad f\left(\underbrace {1,\dots ,1} _{(n){\text{ times}}}\right)=0.\\\end{cases}}}$	${\displaystyle -\infty \leq x_{i}\leq \infty }$, ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$
Funzione di Powell[5]		${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n/4}\left[(x_{4i-3}+10x_{4i-2})^{2}+5(x_{4i-1}-x_{4i})^{2}\right.}$ ${\displaystyle \left.+(x_{4i-2}-2x_{4i-1})^{2}+(10x_{4i-3}-x_{4i})^{4}\right].\quad }$	${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=f(0,\dots ,0)=0}$	${\displaystyle x_{i}\in [-4,5]}$ ${\displaystyle \forall i=1,\,...,\,n}$
Funzione di Beale		${\displaystyle f(x,y)=\left(1.5-x+xy\right)^{2}+\left(2.25-x+xy^{2}\right)^{2}}$ ${\displaystyle +\left(2.625-x+xy^{3}\right)^{2}.\quad }$	${\displaystyle f(3,0.5)=0}$	${\displaystyle -4.5\leq x,y\leq 4.5}$
Funzione di Goldstein–Price		${\displaystyle f(x,y)=\left(1+\left(x+y+1\right)^{2}\left(19-14x+3x^{2}-14y+6xy+3y^{2}\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(30+\left(2x-3y\right)^{2}\left(18-32x+12x^{2}+48y-36xy+27y^{2}\right)\right).\quad }$	${\displaystyle f(0,-1)=3}$	${\displaystyle -2\leq x,y\leq 2}$
Funzione di Booth		${\displaystyle f(x,y)=\left(x+2y-7\right)^{2}+\left(2x+y-5\right)^{2}.\quad }$	${\displaystyle f(1,3)=0}$	${\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}$.
Funzione di Bukin n.6		${\displaystyle f(x,y)=100{\sqrt {\left|y-0.01x^{2}\right|}}+0.01\left|x+10\right|.\quad }$	${\displaystyle f(-10,1)=0}$	${\displaystyle -15\leq x\leq -5}$, ${\displaystyle -3\leq y\leq 3}$
Funzione di Matyas		${\displaystyle f(x,y)=0.26\left(x^{2}+y^{2}\right)-0.48xy.\quad }$	${\displaystyle f(0,0)=0}$	${\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}$
Funzione di Lévi n.13		${\displaystyle f(x,y)=\sin ^{2}\left(3\pi x\right)+\left(x-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}\left(3\pi y\right)\right)}$ ${\displaystyle +\left(y-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}\left(2\pi y\right)\right).\quad }$	${\displaystyle f(1,1)=0}$	${\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}$
Funzione del cammello a tre gobbe		${\displaystyle f(x,y)=2x^{2}-1.05x^{4}+{\frac {x^{6}}{6}}+xy+y^{2}.\quad }$	${\displaystyle f(0,0)=0}$	${\displaystyle -5\leq x,y\leq 5}$
Funzione di Easom		${\displaystyle f(x,y)=-\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\exp \left(-\left(\left(x-\pi \right)^{2}+\left(y-\pi \right)^{2}\right)\right).\quad }$	${\displaystyle f(\pi ,\pi )=-1}$	${\displaystyle -100\leq x,y\leq 100}$
Funzione cross-in-tray		${\displaystyle f(x,y)=-0.0001\left(\left|\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)\exp \left(\left|100-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\pi }}\right|\right)\right|+1\right)^{0.1}.\quad }$	${\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}f\left(1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\\end{cases}}}$	${\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}$
Funzione di Eggholder		${\displaystyle f(x,y)=-\left(y+47\right)\sin \left({\sqrt {\left|y+{\frac {x}{2}}+47\right|}}\right)-x\sin \left({\sqrt {\left|x-\left(y+47\right)\right|}}\right).\quad }$	${\displaystyle f(512,404.2319)=-959.6407}$	${\displaystyle -512\leq x,y\leq 512}$
Funzione di Hölder		${\displaystyle f(x,y)=-\left|\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)\exp \left(\left|1-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\pi }}\right|\right)\right|.\quad }$	${\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}f\left(8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\end{cases}}}$	${\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}$
Funzione di McCormick		${\displaystyle f(x,y)=\sin \left(x+y\right)+\left(x-y\right)^{2}-1.5x+2.5y+1.\quad }$	${\displaystyle f(-0.54719,-1.54719)=-1.9133}$	${\displaystyle -1.5\leq x\leq 4}$, ${\displaystyle -3\leq y\leq 4}$
Funzione di Schaffer N. 2		${\displaystyle f(x,y)=0.5+{\frac {\sin ^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)-0.5}{\left(1+0.001\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)^{2}}}.\quad }$	${\displaystyle f(0,0)=0}$	${\displaystyle -100\leq x,y\leq 100}$
Funzione di Schaffer N. 4		${\displaystyle f(x,y)=0.5+{\frac {\cos \left(\sin \left(\left|x^{2}-y^{2}\right|\right)\right)-0.5}{\left(1+0.001\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)^{2}}}.\quad }$	${\displaystyle f(0,1.25313)=0.292579}$	${\displaystyle -100\leq x,y\leq 100}$
Funzione di Styblinski–Tang		${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}-16x_{i}^{2}+5x_{i}}{2}}.\quad }$	${\displaystyle f\left(\underbrace {-2.903534,\ldots ,-2.903534} _{(n){\text{ volte}}}\right)=-39.16599n}$	${\displaystyle -5\leq x_{i}\leq 5}$, ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.
Funzione di Simionescu[6]		${\displaystyle f(x,y)=0.1xy}$, ${\displaystyle {\text{subjected to: }}x^{2}+y^{2}\leq \left(r_{T}+r_{S}\cos \left(n\arctan {\frac {x}{y}}\right)\right)^{2}}$ ${\displaystyle {\text{where: }}r_{T}=1,r_{S}=0.2{\text{ and }}n=8}$	${\displaystyle f(\pm 0.85586214,\mp 0.85586214)=-0.072625}$	${\displaystyle -1.25\leq x,y\leq 1.25}$

Funzioni test per problemi MOP

Le seguenti funzioni test per algoritmi di ottimizzazione multiobiettivo provengono da Deb,^[7] Binh et. al.^[8] e Binh.^[9][10][11]

Nome	Fronte di Pareto	Funzioni	Vincoli	Dominio di ricerca
Funzione di Binh e Korn		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=4x^{2}+4y^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)&=\left(x-5\right)^{2}+\left(y-5\right)^{2}\\\end{cases}}}$	${\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=\left(x-5\right)^{2}+y^{2}\leq 25\\g_{2}\left(x,y\right)&=\left(x-8\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}\geq 7.7\\\end{cases}}}$	${\displaystyle 0\leq x\leq 5}$, ${\displaystyle 0\leq y\leq 3}$
Funzione di Chakong e Haimes		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=2+\left(x-2\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)&=9x+\left(y-1\right)^{2}\\\end{cases}}}$	${\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=x^{2}+y^{2}\leq 225\\g_{2}\left(x,y\right)&=x-3y+10\leq 0\\\end{cases}}}$	${\displaystyle -20\leq x,y\leq 20}$
Funzione di Fonseca e Fleming		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)^{2}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}+{\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)^{2}\right)\\\end{cases}}}$		${\displaystyle -4\leq x_{i}\leq 4}$, ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$
Funzione test n. 4[9]		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x^{2}-y\\f_{2}\left(x,y\right)&=-0.5x-y-1\\\end{cases}}}$	${\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=6.5-{\frac {x}{6}}-y\geq 0\\g_{2}\left(x,y\right)&=7.5-0.5x-y\geq 0\\g_{3}\left(x,y\right)&=30-5x-y\geq 0\\\end{cases}}}$	${\displaystyle -7\leq x,y\leq 4}$
Funzione di Kursawe		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{2}\left[-10\exp \left(-0.2{\sqrt {x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}}}\right)\right]\\&\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{3}\left[\left|x_{i}\right|^{0.8}+5\sin \left(x_{i}^{3}\right)\right]\\\end{cases}}}$		${\displaystyle -5\leq x_{i}\leq 5}$, ${\displaystyle 1\leq i\leq 3}$.
Funzione di Schaffer n. 1		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)&=x^{2}\\f_{2}\left(x\right)&=\left(x-2\right)^{2}\\\end{cases}}}$		${\displaystyle -A\leq x\leq A}$. Values of ${\displaystyle A}$ form ${\displaystyle 10}$ to ${\displaystyle 10^{5}}$ have been used successfully. Higher values of ${\displaystyle A}$ increase the difficulty of the problem.
Funzione di Schaffer n. 2		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)&={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x\leq 1\\x-2,&{\text{if }}1<x\leq 3\\4-x,&{\text{if }}3<x\leq 4\\x-4,&{\text{if }}x>4\\\end{cases}}\\f_{2}\left(x\right)&=\left(x-5\right)^{2}\\\end{cases}}}$		${\displaystyle -5\leq x\leq 10}$.
Funzione di Poloni		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=\left[1+\left(A_{1}-B_{1}\left(x,y\right)\right)^{2}+\left(A_{2}-B_{2}\left(x,y\right)\right)^{2}\right]\\f_{2}\left(x,y\right)&=\left(x+3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}\\\end{cases}}}$ ${\displaystyle {\text{where}}={\begin{cases}A_{1}&=0.5\sin \left(1\right)-2\cos \left(1\right)+\sin \left(2\right)-1.5\cos \left(2\right)\\A_{2}&=1.5\sin \left(1\right)-\cos \left(1\right)+2\sin \left(2\right)-0.5\cos \left(2\right)\\B_{1}\left(x,y\right)&=0.5\sin \left(x\right)-2\cos \left(x\right)+\sin \left(y\right)-1.5\cos \left(y\right)\\B_{2}\left(x,y\right)&=1.5\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)+2\sin \left(y\right)-0.5\cos \left(y\right)\end{cases}}}$		${\displaystyle -\pi \leq x,y\leq \pi }$
Funzione di Zitzler–Deb–Thiele n. 1		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}\\\end{cases}}}$		${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}$, ${\displaystyle 1\leq i\leq 30}$.
Funzione di Zitzler–Deb–Thiele n. 2		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{cases}}}$		${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}$, ${\displaystyle 1\leq i\leq 30}$.
Funzione di Zitzler–Deb–Thiele's function n. 3		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)\sin \left(10\pi f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\end{cases}}}$		${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}$, ${\displaystyle 1\leq i\leq 30}$.
Funzione di Zitzler–Deb–Thiele n. 4		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=91+\sum _{i=2}^{10}\left(x_{i}^{2}-10\cos \left(4\pi x_{i}\right)\right)\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}\end{cases}}}$		${\displaystyle 0\leq x_{1}\leq 1}$, ${\displaystyle -5\leq x_{i}\leq 5}$, ${\displaystyle 2\leq i\leq 10}$
Funzione di Zitzler–Deb–Thiele n. 6		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-4x_{1}\right)\sin ^{6}\left(6\pi x_{1}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+9\left[{\frac {\sum _{i=2}^{10}x_{i}}{9}}\right]^{0.25}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{cases}}}$		${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}$, ${\displaystyle 1\leq i\leq 10}$.
Funzione di Viennet		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=0.5\left(x^{2}+y^{2}\right)+\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\\f_{2}\left(x,y\right)&={\frac {\left(3x-2y+4\right)^{2}}{8}}+{\frac {\left(x-y+1\right)^{2}}{27}}+15\\f_{3}\left(x,y\right)&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}+1}}-1.1\exp \left(-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)\\\end{cases}}}$		${\displaystyle -3\leq x,y\leq 3}$.
Funzione di Osyczka e Kundu		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=-25\left(x_{1}-2\right)^{2}-\left(x_{2}-2\right)^{2}-\left(x_{3}-1\right)^{2}-\left(x_{4}-4\right)^{2}-\left(x_{5}-1\right)^{2}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{6}x_{i}^{2}\\\end{cases}}}$	${\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}+x_{2}-2\geq 0\\g_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=6-x_{1}-x_{2}\geq 0\\g_{3}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=2-x_{2}+x_{1}\geq 0\\g_{4}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=2-x_{1}+3x_{2}\geq 0\\g_{5}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=4-\left(x_{3}-3\right)^{2}-x_{4}\geq 0\\g_{6}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\left(x_{5}-3\right)^{2}+x_{6}-4\geq 0\end{cases}}}$	${\displaystyle 0\leq x_{1},x_{2},x_{6}\leq 10}$, ${\displaystyle 1\leq x_{3},x_{5}\leq 5}$, ${\displaystyle 0\leq x_{4}\leq 6}$.
Funzione CTP1[7]		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x\\f_{2}\left(x,y\right)&=\left(1+y\right)\exp \left(-{\frac {x}{1+y}}\right)\end{cases}}}$	${\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0.858\exp \left(-0.541f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\\g_{1}\left(x,y\right)&={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0.728\exp \left(-0.295f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\end{cases}}}$	${\displaystyle 0\leq x,y\leq 1}$.
Problema Constr-Ex[7]		${\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x\\f_{2}\left(x,y\right)&={\frac {1+y}{x}}\\\end{cases}}}$	${\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=y+9x\geq 6\\g_{1}\left(x,y\right)&=-y+9x\geq 1\\\end{cases}}}$	${\displaystyle 0.1\leq x\leq 1}$, ${\displaystyle 0\leq y\leq 5}$

Note

1. Neculai Andrei, An Unconstrained Optimization Test Functions Collection, in Advanced Modeling and Optimization, vol. 10, n. 1, 2008.
2. Thomas Bäck, Evolutionary algorithms in theory and practice: evolution strategies, evolutionary programming, genetic algorithms, Oxford, Oxford University Press, 1995, p. 328, ISBN 0-19-509971-0.
3. Randy L. Haupt e Sue Ellen, Practical genetic algorithms with DC-Rom, 2ª ed., New York, J. Wiley, 2004, ISBN 0-471-45565-2.
4. Rody Oldenhuis, Many test functions for global optimizers, su mathworks.com, Mathworks. URL consultato il 1º novembre 2012.
5. Sonja Surjanovich e Derek Bingham, Powell Function, su sfu.ca, Simon Fraser University. URL consultato il 21 maggio 2014 (archiviato il 21 maggio 2014).
6. P.A. Simionescu, Computer Aided Graphing and Simulation Tools for AutoCAD Users, 1st, Boca Raton, FL, CRC Press, 2014, ISBN 978-1-4822-5290-3.
7. Deb, Kalyanmoy (2002) Multiobjective optimization using evolutionary algorithms (Repr. ed.). Chichester [u.a.]: Wiley. ISBN 0-471-87339-X.
8. Binh T. and Korn U. (1997) MOBES: A Multiobjective Evolution Strategy for Constrained Optimization Problems. In: Proceedings of the Third International Conference on Genetic Algorithms. Czech Republic. pp. 176-182
9. Binh T. (1999) A multiobjective evolutionary algorithm. The study cases. Technical report. Institute for Automation and Communication. Barleben, Germany
10. Il software sviluppato da K. Deb è disponibile presso http://www.iitk.ac.in/kangal/codes.shtml Archiviato il 30 settembre 2014 in Internet Archive.
11. Gilberto A. Ortiz, Multi-objective optimization using ES as Evolutionary Algorithm., su mathworks.com, Mathworks. URL consultato il 1º novembre 2012.

Voci correlate

• Funzione di Himmelblau
• Funzione di Rosenbrock
• Funzione di Rastrigin
• Funzione di Shekel

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