Formule di Borda

Le formule o relazioni di Borda, indicate anche come formule di Nepero-Borda,^[1] permettono di risolvere il triangolo di posizione nelle applicazioni di astronomia nautica (navigazione astronomica).^[2]

Descrizione

Facendo riferimento al triangolo di posizione, sono date le formule per ricavare l'angolo al polo P e l'angolo zenitale Z.

Formule per calcolare l'angolo al polo P

$\sin {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\sin(S-h)}{\cos \phi \sin p}}}$

$\cos {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\cos(S-p)}{\cos \phi \sin p}}}$

$\tan {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\sin(S-h)}{\cos(S-p)\sin(S-\phi )}}}$

dove si è posto

$S={\frac {\phi +p+h}{2}}$

avendo indicato con $\phi$ la latitudine, con $p=90^{\circ }-\delta$ dove $\delta$ è la declinazione, e $h$ l'altezza (misurata col sestante) dell'astro preso come riferimento.

Formule per calcolare l'angolo azimutale Z

$\sin {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\sin(S-h)}{\cos \phi \cos h}}}$

$\cos {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\cos(S-p)}{\cos \phi \cos h}}}$

$\tan {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\sin(S-h)}{\cos S\cos(S-p)}}}$

dove si è posto

$S={\frac {\phi +p+h}{2}}$

e analogo significato degli altri simboli.

Le formule per calcolare l'angolo parallattico A non sono date perché il calcolo non ha interesse pratico.

Le formule sono tutte riportate in forma logaritmica, forma in cui le funzioni trigonometriche compaiono sempre e solo moltiplicate fra loro; ciò semplifica i calcoli perché permette di passare ai logaritmi di tali funzioni e sommare i risultati ottenuti (ricordando infatti che a*b = log(a)+log(b)). Questo modo è il più semplice quando si devono eseguire tutti i calcoli a mano, utilizzando soltanto le tavole dei logaritmi e le tavole delle funzioni trigonometriche.