Distribuzione composta di Poisson

Nell'ambito della teoria delle variabili casuali con distribuzione composta di Poisson si intende la somma di un numero casuale poissoniano di variabili casuale identiche e indipendenti. In particolare si pone

${\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),}$

dove N è una variabile casuale poissoniana con valore atteso λ, e

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$

sono variabili casuali indipendenti identicamente distribuite e indipendenti da N.

Allora la somma

${\displaystyle Y=\sum _{n=1}^{N}X_{n}}$

è una distribuzione di Poisson composta (dove se N = 0, allora Y è 0.)

Se le n variabili casuali sono identicamente distribuite come un'arbitraria variabile casuale X, con valore atteso ${\displaystyle \mu }$, secondo momento ${\displaystyle m_{2}}$ e terzo momento ${\displaystyle m_{3}}$ si ottengono i seguenti parametri

• valore atteso = ${\displaystyle \lambda \mu }$
• varianza = ${\displaystyle \lambda m_{2}}$
• coefficiente di asimmetria = ${\displaystyle \lambda m_{3}}$

Alcune composte di Poisson

Se ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$ sono distribuite come la variabile casuale logaritmica allora la composta di Poisson è una variabile casuale binomiale negativa.