Distribuzione T-quadrato di Hotelling

La distribuzione T-quadrato di Hotelling (chiamata così secondo Harold Hotelling) è una generalizzazione della distribuzione t di Student utilizzata nei test di ipotesi multivariati.

Definizione

La statistica T-quadrato di Hotelling è definita come segue:

Siano

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}}$

p×1 vettori colonna di numeri reali e

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}=(\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n})/n}$

le loro medie. Sia

${\displaystyle {\mathbf {W} }=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'/(n-1)}$

la matrice non negativa data dalla loro varianza (la trasposta di una matrice ${\displaystyle M}$ viene indicata com ${\displaystyle M'}$).

Sia μ un vettore colonna ${\displaystyle p\times 1}$ noto (in applicazione dei valori medi ipotizzati per la popolazione). La statistica T-quadrato di Hotelling è data da

${\displaystyle T^{2}=({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } }).}$

Risultati teorici

Se ${\displaystyle \mathbf {x} \sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })}$ è una variabile casuale con una distribuzione normale multivariata, ${\displaystyle {\mathbf {Q} }\sim W_{p}(m,{\mathbf {V} })}$ è distribuita come una variabile casuale di Wishart, e sia ${\displaystyle {\mathbf {x} }}$ che ${\displaystyle {\mathbf {Q} }}$ sono indipendenti, allora ${\displaystyle T^{2}}$ è distribuita come una variabile casuale T-quadrato di Hotelling.

Si può dimostrare che se ${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}\sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })}$, sono indipendenti e sia ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}}$ che ${\displaystyle {\mathbf {W} }}$ sono definiti come sopra allora ${\displaystyle {\mathbf {W} }}$ è distribuita come una variabile casuale di Wishart con ${\displaystyle m=n-1}$ gradi di libertà ed è indipendente da ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}}$ e

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\sim N_{p}(\mu ,V/n).}$

Inoltre, se entrambe le distribuzioni sono non-singolari, si può dimostrare che

${\displaystyle {\frac {m-p+1}{pm}}T^{2}\sim F_{p,m-p+1}}$

dove ${\displaystyle F}$ è la variabile casuale F di Snedecor.

Voci correlate

• Distribuzione Lambda di Wilks

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione T-quadrato di Hotelling, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Distribuzione T-quadrato di Hotelling, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.