Distribuzione Lambda di Wilks

In teoria della probabilità la distribuzione Lambda di Wilks è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da tre parametri, utilizzata nei test di verifica d'ipotesi nell'ambito della statistica multivariata. Le distribuzioni di Fisher-Snedecor (ed in particolare la t di Student) e T di Hotelling sono dei casi particolari della Lambda di Wilks.

Lambda di Wilks e la variabile casuale di Wishart

Siano date due variabili casuali indipendenti con distribuzione di Wishart

${\displaystyle A\sim W_{p}(I,m)\qquad B\sim W_{p}(I,n)}$

e con ${\displaystyle m\geq p}$, allora la distribuzione Lambda di Wilks è definita da

${\displaystyle \lambda ={\frac {|A|}{|A+B|}}={\frac {1}{|I+A^{-1}B|}}\sim \Lambda (p,m,n).}$

Lambda di Wilks e la variabile casuale Beta

Siano date le n variabili casuali distribuite come una variabile casuale Beta

${\displaystyle u_{i}\sim B\left({\frac {m+i-p}{2}},{\frac {p}{2}}\right)}$

allora

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}u_{i}\sim \Lambda (p,m,n).}$

Dal che si ottiene la variabile casuale Beta come un caso particolare della Lambda di Wilks, in quanto

${\displaystyle \Lambda (p,m,1)\sim B\left({\frac {m+1-p}{2}},{\frac {p}{2}}\right)}$

e di conseguenza ${\displaystyle \Lambda (2,3,1)}$ corrisponde alla variabile casuale rettangolare definita tra zero e uno.

Lambda di Wilks come generalizzazione della variabile casuale F di Snedecor

Lambda di Wilks come generalizzazione della variabile casuale T-quadrato di Hotelling

Lambda di Wilks approssimata dalla variabile casuale Chi quadrato

Per m grande, l'approssimazione di Bartelett permette di approssimare una Lambda di Wilks con una variabile casuale chi quadro

${\displaystyle \left({\frac {p-n+1}{2}}-m\right)\log \Lambda (p,m,n)\sim \chi _{np}^{2}.}$