Studia al seminario per le vocazioni adulte Colegio Mayor El Salvador di Salamanca e viene ordinato sacerdote il 29 luglio 1973.
È direttore di vari uffici pastorali della diocesi di Santander, delegato episcopale per le vocazioni e i seminari, vicario generale e rettore del seminario diocesano.
Dal 9 giugno 2016 ricopre anche l'ufficio di ordinario per i fedeli di rito orientale in Spagna.
Il 9 ottobre 2016 papa Francesco ne annuncia la creazione a cardinale nel concistoro del 19 novembre.
Il 12 giugno 2023 papa Francesco ha accolto la sua rinuncia al governo pastorale dell'arcidiocesi di Madrid per raggiunti limiti di età; gli è succeduto José Cobo Cano, fino ad allora vescovo titolare di Beatia e ausiliare di Madrid[2].
D'azzurro, allo scaglione d'oro caricato di 3 tortelli di verde; in punta, alle 8 spighe d'oro sormontate da una stella a 8 raggi d'argento; al capo ondato, di rosso, alla barca sormontata da un chrismon e affiancata, a destra, dal Santo Calice di Valencia, e a sinistra dalla Croce degli Angeli adorata da 2 angeli inginocchiati, il tutto d'oro.
Interpretazione
Nello scudo del cardinale Osoro Sierra sono presenti:
uno scaglione dorato caricato da 3 sfere verdi, che ricorda l'emblema della famiglia Osoro, dalla quale proviene il cardinale;
una stella a 8 punte che simboleggia la Vergine Maria, la quale è invocata con diversi titoli dalle diocesi che ha guidato il cardinale Osoro durante il suo ministero episcopale, e cioè Orense, Oviedo, Valencia e infine Madrid. Attraverso la stella il cardinale Osoro vuole esprimere soprattutto la sua profonda devozione alla Madonna, affidandole il proprio ministero a servizio della Chiesa e del popolo di Dio;
le spighe di grano che sono un riferimento a Sant'Isidoro Agricola, patrono di Madrid, che si è santificato lavorando nei campi e facendo dell'agricoltura un dono della grazia divina;
la barca sormontata da un chrismon, che sta indicare che la Chiesa è sostenuta e guidata da Cristo;
il Santo Calice di Valencia che ricorda il ministero episcopale svolto dal cardinale Osoro nell'arcidiocesi valenciana, prima di essere nominato arcivescovo di Madrid;
la Croce adorata da 2 angeli che è un riferimento all'arcidiocesi di Oviedo, che fu la prima sede metropolitana guidata dal cardinale Osoro.
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