Şengün è nato a Giresun, nel nord della Turchia. Nonostante i suoi genitori volessero che diventasse un nuotatore, Şengün preferiva la pallacanestro, avendo visto suo fratello maggiore giocare. Şengün inizia a giocare all'età di otto anni.[1]
Nel 2012 entra a far parte della squadra giovanile dell'Università di Giresun, rimanendoci fino al 2014. Si trasferisce successivamente nelle giovanili del Bandırma B.İ.K., squadra della città di Bandırma, dopo esser stato notato dall'allenatore Ahmet Gürgen.[2] Nel 2018-2019 vince il campionato giovanile della lega turca, venendo nominato MVP della manifestazione.[3]
Campionato turco
Inizia la sua carriera professionistica con il Bandırma Kırmızı, squadra della seconda divisione turca. In 29 partite realizza 10,8 punti, 6,8 rimbalzi e 1,2 assist di media in 22 minuti di utilizzo.[4]
L'anno successivo si trasferisce al Teksüt Bandırma, squadra di prima divisione, con la quale realizza 5 punti, 3,9 rimbalzi e 0,6 assist in soli 13 minuti di media a partita. Partecipa anche alla Basketball Champions League, tenendo le medie di 6,6 punti, 3,3 rimbalzi e 0,6 assist in 15 partite.
Nell'agosto del 2020 Şengün firma un contratto di tre anni con il Beşiktaş. Disputa una stagione di altissimo livello, concludendo l'anno con 18,6 punti, 8,9 rimbalzi e 2,7 assist di media a partita,[5] venendo nominato MVP della competizione.[6]
Il 12 maggio annuncia la sua intenzione di rendersi eleggibile per il Draft NBA 2021.[7]
NBA
Houston Rockets (2021-)
Il 29 luglio 2021 viene selezionato dagli Houston Rockets con la 16ª scelta assoluta, acquistata dagli Oklahoma City Thunder in cambio di due prime scelte future.
L'11 dicembre diventa il più giovane giocatore di sempre della storia NBA a realizzare almeno 15 punti, 6 rimbalzi, 6 assist, 3 palle rubate e 1 stoppata in una singola partita.
