Turunan waktu

Turunan waktu (bahasa Inggris: time derivative) adalah suatu turunan atau derivatif dari sebuah fungsi terhadap waktu, biasanya ditafsirkan sebagai laju perubahan nilai fungsi itu.^[1] Variabel yang menyatakan waktu biasanya ditulis sebagai ${\displaystyle t\,}$.

Notasi

Berbagai notasi telah digunakan untuk menyatakan turunan waktu. Biasanya digunakan Notasi Leibniz:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$

Notasi singkat yang umum, biasanya dalam fisika adalah 'over-dot', yaitu:

${\displaystyle {\dot {x}}}$

(Ini disebut notasi Newton)

Turunan waktu yang lebih tinggi juga digunakan: turunan kedua terhadap waktu ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

dengan singkatannya ${\displaystyle {\ddot {x}}}$.

Secara umum, turunan waktu sebuah vektor, misalnya:

${\displaystyle {\vec {V}}=\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\cdots \right]\,}$

didefinisikan sebagai vektor yang komponen-komponennya merupakan turunan dari komponen-komponen vektor aslinya. Jadi,

${\displaystyle {\frac {d{\vec {V}}}{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\cdots \right]\ .}$

Penggunaan dalam fisika

Turunan waktu adalah konsep kunci dalam fisika. Misalnya, untuk suatu perubahan posisi ${\displaystyle x\,}$, turunan waktunya ${\displaystyle {\dot {x}}}$ adalah kecepatannya, dan turunan keduanya terhadap waktu, ${\displaystyle {\ddot {x}}}$, adalah percepatan. Meskipun turunan lebih tinggi kadang kala juga digunakan: turunan ketiga posisi terhadap waktu dikenal sebagai "sentakan".

Sejumlah besar persamaan fundamental dalam fisika melibatkan kuantitas turunan waktu pertama dan kedua. Banyak kuantitas fundamental lain dalam sains adalah turunan waktu satu sama lain:

• gaya adalah turunan waktu dari momentum
• daya adalah turunan waktu dari energi atau "kerja"
• arus listrik adalah turunan waktu dari muatan listrik

dan seterusnya

Hal yang umum dijumpai dalam fisika adalah turunan waktu dari suatu vektor, seperti kecepatan atau perpindahan. Dalam menangani derivatif tersebut, baik besaran maupun orientasi dapat tergantung dari waktu.

Contoh: gerakan sirkuler

Lihat pula: Gerak melingkar dan Gaya sentripetal

Relasi antara koordinat Cartesius (x,y) dan koordinat polar (r,θ).

Misalnya, ada suatu partikel bergerak dalam jalur sirkuler atau melingkar. Posisinya diberikan oleh vektor perpindahan ${\displaystyle r=x{\hat {i}}+y{\hat {j}}}$, terhadap sudut θ, dan jarak radial r, sebagaimana didefinisikan dalam gambar:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \end{aligned}}}$

Untuk keperluan contoh ini, ketergantungan waktu disertakan dengan setting θ = t. Perpindahan (posisi) pada waktu t adalah:

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r\cos(t){\hat {i}}+r\sin(t){\hat {j}}}$

Bentuk ini menunjukkan gerakan yang diberikan oleh r(t) adalah suatu lingkaran dengan jari-jari r karena besaran r(t) diberikan oleh

${\displaystyle |\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)}}=r}$

menggunakan identitas trigonometri sin²(t) + cos²(t) = 1 dan di mana ${\displaystyle \cdot }$ adalah hasil perkalian skalar biasa.

Dengan bentuk perpindahan ini, kecepatan dapat dihitung. Turunan waktu vektor perpindahan adalah vektor kecepatan. Secara umum, turunan suatu vektor adalah vektor yang terdiri dari komponnen-komponen di mana masing-masing adalah turunan dari komponen bersangkutan pada vektor aslinya. Jadi, dalam hal ini, vektor kecepatan adalah:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)={\frac {d\,\mathbf {r} (t)}{dt}}&=r\left[{\frac {d\,\cos(t)}{dt}},{\frac {d\,\sin(t)}{dt}}\right]\\&=r\ [-\sin(t),\ \cos(t)]\\&=[-y(t),x(t)].\end{aligned}}}$

Jadi kecepatan partikel itu nonzero (bukan nol) meskipun besaran posisi (yaitu, jari-jari jalur gerakan) konstan. Kecepatan ini diarahkan tegak lurus dari perpindahan, yang dihitung menggunakan perkalian skalar:

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =[-y,x]\cdot [x,y]=-yx+xy=0\,.}$

Jadinya percepatan atau akselerasi adalah turunan waktu kecepatan:

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {d\,\mathbf {v} (t)}{dt}}=[-x(t),-y(t)]=-\mathbf {r} (t)\,.}$

Percepatan diarahkan ke dalam, ke arah aksis rotasi, menunjuk arah berlawanan dengan vektor posisi dan tegak lurus terhadap vektor kecepatan. Percepatan ke arah dalam ini disebut percepatan sentripetal.

Penggunaan dalam ekonomi

Dalam ekonomi, banyak model teoretis evolusi berbagai variabel ekonomi dikonstruksi dalam continuous time sehingga menggunakan turunan waktu. Contohnya exogenous growth model.^{[2]bab 1-3} Salah satu situasi melibatkan variabel saham dan turunan waktunya, variabel flow. Sejumlah contoh:

• Flow investasi tetap net adalah turunan waktu dari capital stock.
• Flow inventory investment adalah turunan waktu dari stock of inventories.
• Laju pertumbuhan money supply adalah turunan waktu dari suplai uang dibagi suplai uang itu sendiri.

Kadang-kadang turunan waktu variabel flow dapat muncul dalam suatu model:

• Laju pertumbuhan output adalah turunan waktu dari flow output dibagi output sendiri.
• Laju pertumbuhan labor force adalah turunan waktu dari labor force dibagi labor force sendiri.

Kadang pula muncul turunan waktu dari suatu variabel yang berbeda dengan contoh-contoh di atas karena tidak diukur dalam satuan mata uang:

• Turunan waktu suku bunga kunci dapat muncul.
• Laju inflasi adalah laju pertumbuhan tingkat harga—yaitu, turunan waktu tingkat harga dibagi tingkat harga sendiri.

Lihat pula

• Kalkulus diferensial
• Notasi untuk diferensiasi
• Gerak melingkar
• Gaya sentripetal

Referensi

1. Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984, ch. 14, 15, 18.
2. Romer, David, Advanced Macroeconomics, McGraw-Hill, 1996.