Notasi untuk diferensiasi

Notasi untuk diferensiasi tidak seragam dalam kalkulus diferensial, karena ada beberapa notasi untuk derivatif suatu fungsi atu variabel dependen yang telah diusulkan oleh para matematikawan. Kegunaan setiap notasi berbeda menurut konteksnya dan kadang kala bermanfaat untuk menggunakan lebih dari satu notasi pada konteks tertentu. Notasi paling umum untuk diferensiasi adalah seperti di bawah ini.

Notasi Leibniz

Artikel utama: Notasi Leibniz

dy

dx

d ²y

dx²

Notasi asli yang digunakan oleh Gottfried Leibniz biasa dipakai dalam matematika. Umumnya persamaan y = f(x) dianggap sebagai hubungan fungsional antara variabel dependen y dan variabel independen x. Dalam hal ini turunannya dapat ditulis:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

Fungsi yang nilainya pada x adalah turunan dari f pada x ditulis sebagai berikut

${\displaystyle {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}{\bigl (}f(x){\bigr )}}$

Turunan lebih tinggi ditulis sebagai

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},{\text{ atau }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}}$

untuk turunan ke-n dari y = f(x). Dalam sejarahnya, ini berasal dari fakta bahwa, misalnya, turunan ketiga adalah:

${\displaystyle {\frac {d{\Bigl (}{\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}{\Bigr )}}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{3}{\bigl (}f(x){\bigr )}}$

yang dapat ditulis pula (membuka tanda kurung pada denominator) sebagai:

${\displaystyle {\frac {d^{3}}{\left(dx\right)^{3}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}={\frac {d^{3}}{dx^{3}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}}$

seperti di atas.

Dalam notasi Leibniz nilai turunan y pada titik x = a dapat ditulis dengan dua cara:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).}$

Notasi Leibniz mengizinkan penetapan suatu variabel untuk diferensiasi (dalam denominator). Ini sangat bermanfaat ketika mempertimbangkan turunan parsial. Jika membuat kaidah rantai mudah diingat dan dikenali:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Dalam formulasi kalkulus dala, istilah limit, simbol du dipakai dalam arti yang berbeda-beda oleh berbagai penulis.

Sejumlah penulis tidak memberi makna pada du itu sendiri, tetapi hanya sebagai bagian dari simbol du/dx.

Yang lain mendefinisikan dx sebagai variabel independen, dan menggunakan d(x + y) = dx + dy dan d(x·y) = dx·y + x·dy sebagai aksioma formal untuk diferensiasi.

Notasi Lagrange

f ʹ(x)  f ʺ(x)

Salah satu notasi modern yang paling umum untuk diferensiasi diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dengan memakai tanda primus (prime mark): ketiga turunan pertama f ditulis sebagai

${\displaystyle f'\;}$ untuk turunan pertama,

${\displaystyle f''\;}$ untuk turunan kedua,

${\displaystyle f'''\;}$ untuk turunan ketiga.

Setelah itu, sejumlah penulis meneruskan dengan memakai angka Romawi seperti f ^IV untuk turunan keemp;at f, sedangkan yang lain memakai ordinal derivatif dalam tanda kurung, sehingga turunan keempat f dapat ditulis sebagai f ⁽⁴⁾. Notasi terakhir ini dapat dengan mudah diteruskan ke turunan keberapapun, sehingga turunan ke-n dari f ditulis f ⁽ⁿ⁾.

Notasi Euler

D_x y D²f

Notasi Euler ditulis menggunakan operator diferensial, yang diberi simbol D, mengawali suatu fungsi sehingga turunan fungsi f ditulis sebagai

${\displaystyle Df\;}$ untuk turunan pertama,

${\displaystyle D^{2}f\;}$ untuk turunan kedua, dan

${\displaystyle D^{n}f\;}$ untuk turunan ke-n, dengan bilangan bulat positif n berapapun.

Bilamana menghitung turunan variabel dependen y = f(x) umumnya ditambahkan variabel independen x sebagai subskrip pada notasi D, sehingga menjadi notasi alternatif

${\displaystyle D_{x}y\;}$ untuk turunan pertama,

${\displaystyle D_{x}^{2}y\;}$ untuk turunan kedua, dan

${\displaystyle D_{x}^{n}y\;}$ untuk turunan ke-n, dengan bilangan bulat positif n berapapun.

Notasi Newton

ẋ ẍ

Notasi Newton untuk diferensiasi (juga disebut "notasi titik" atau dot notation untuk diferensiasi) memakai tanda titik di atas variabel dependen dan sering digunakan untuk turunan waktu misalnya kecepatan

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}}\,,}$

percepatan

${\displaystyle {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\,,}$

dan seterusnya.

Turunan parsial

Artikel utama: Turunan parsial

f_x  f_xy

Bilamana hendak menulis jenis diferensiasi yang lebih spesifik, misalnya dalam kalkulus multivariasi atau analisis tensor, notasi-notas lain juga digunakan.

Untuk fungsi f(x), turunan dapat ditulis dengan subskrip variabel independen:

${\displaystyle f_{x}={\frac {df}{dx}}}$

${\displaystyle f_{xx}={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.}$

Ini sangat berguna dalam menghitung turunan parsial suatu fungsi dengan beberapa variabel.

∂f

∂x

Notasi dalam kalkulus vektor

Kalkulus vektor berfokus pada diferensiasi dan integrasi suatu bidang vektor atau skalar secara khusus dalam suatu ruang Euklidean tiga dimensi, dan menggunakan notasi khusus untuk diferensiasi. Dalam suatu sistem koordinat Kartesius o-xyz, yang melambangkan bidang vektor A ditulis ${\displaystyle \mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})}$, dan bidang skalar ${\displaystyle \varphi }$ ditulis ${\displaystyle \varphi =f(x,y,z)\,}$.

Pertama, sebuah operator diferensial, atau suatu operator Hamilton ∇ yang juga disebut del memuat perlambangan definisi suatu vektor,

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}$

di mana istilah perlambangan ini mencerminkan bahwa operator ∇ juga diperlakukan sebagai suatu vektor biasa.

∇φ

• Gradien: gradien ${\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi \,}$ dari bidang skalar ${\displaystyle \varphi }$ adalah sebuah vektor, yang ditulis dengan perlambangan perkalian ∇ dan bidang skalar ${\displaystyle \varphi }$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}}$

∇∙A

• Divergensi: divergensi ${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} \,}$ dari bidang vektor A adalah suatu skalar, yang ditulis dengan perlambangan produk skalar ∇ dan vektor A,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$

∇²φ

• Laplacian: Laplacian ${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi }$ sebuah bidang skalar ${\displaystyle \varphi }$ adalah suatu skalar, yang ditulis dengan perlambangan perkalian skalar ∇² dan bidang skalar φ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}}$

di mana, ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$ disebut operator Laplacian.

∇×A

• Rotasi: rotasi ${\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} \,}$, atau ${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} \,}$, sebuah bidang vektor A adalah suatu vektor, yang ditulis dengan perlambangan perkalian silang ∇ dan vektor A,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[5pt]{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\[12pt]A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

Banyak operasi turunan simbolis dapat digeneralisasi langsung dengan operator gradian dalam sistem koordinat Kartesius. Misalnya, kaidah hasil kali dengan variabel tunggal mempunyai analog langsung dalam perkalian bidang skalar melalui penggunaan operator gradien, sebagaimana dalam

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).}$

Lihat pula

• Derivatif
• Matriks Jacobi
• Matriks Hesse

Referensi

Pranala luar

• Earliest Uses of Symbols of Calculus, maintained by Jeff Miller.