Daftar topik aljabar abstrak

Operasi dasar

Struktur aljabar didefinisikan terutama sebagai himpunan dengan operasi.

• Struktur aljabar
  • Subobjek : subgrup, subgelanggang, subaljabar, submodul dll.
• Operasi biner
  • Penutupan suatu operasi
  • Sifat asosiatif
  • Sifat distributif
  • Sifat komutatif
• Operator Unary
  • Aditif invers, invers perkalian, elemen invers
    • Elemen identitas
    • Sifat pembatalan
• Operasi finiter
  • Ariti

Peta pelestarian struktur yang disebut homomorfisme sangat penting dalam studi objek aljabar.

• Homomorfisme
  • Kernel dan kokernel
  • Citra dan kocitra
  • Epimorfisma dan monomorfisme
    • Isomorfisme
      • Teorema Isomorfisme

Ada beberapa cara dasar untuk menggabungkan objek aljabar yang berjenis sama untuk menghasilkan objek ketiga yang berjenis sama. Konstruksi ini digunakan di seluruh aljabar.

• Jumlah langsung
  • Limit langsung
• Produk langsung
  • Limit invers
• Objek hasil bagi: grup hasil bagi, gelanggang hasil bagi, modul hasil bagi dll.
• Produk Tensor

Konsep lanjutan:

• Teori kategori
  • Kategori grup
    • Kategori grup abelian
  • Kategori gelanggang
  • Kategori modul
    • Kesetaraan Morita, Dualitas Morita
  • Kategori ruang vektor
• Aljabar homologis
  • Filtrasi (aljabar)
  • Urutan persis
  • Funktor
• Lemma Zorn

Semigrup dan monoid

• Semigrup
  • Subsemigrup
  • Semigrup bebas
  • Relasi Green
  • Semigrup invers (lih. [1])
  • Teori Krohn–Rhodes
  • Aljabar semigrup
  • Transformasi semigrup
• Monoid
  • Monoid periodik
  • Monoid bebas
  • Monoid (teori kategori)
  • Faktorisasi monoid
  • Monoid sintaktik

Teori grup

Artikel utama: Daftar topik teori grup

Struktur

• Grup (matematika)
  • Teorema Lagrange (teori grup)
  • Subgrup
    • Coset
    • Subgrup normal
    • Subgrup karakteristik
    • Subgrup Pemusat dan penormal
    • Grup turunan
    • Subgrup Frattini
    • Subgrup Fitting
  • Klasifikasi grup sederhana hingga
  • Teorema Sylow
  • Analisis lokal

Konstruksi

• Grup bebas
  • Presentasi grup
  • Masalah kata untuk grup
• Grup hasil bagi
  • Masalah ekstensi
• Jumlah langsung, produk langsung
• Produk setengah langsung
  • Produk karangan bunga

Jenis

• Grup sederhana
• Grup terbatas
• Grup Abelian
  • Subgrup torsi
  • Grup abelian bebas
  • Grup abelian yang dihasilkan tak hingga
  • Peringkat grup abelian
• Grup siklik
  • Grup siklik lokal
• Grup yang dapat diselesaikan
  • Deret komposisi
• Grup nilpoten
• Grup yang dapat dibagi
• Grup Dedekind, Grup Hamilton

Contoh

• Contoh grup
  • Grup permutasi
  • Grup simetris
  • Grup alternatif
  • p-group
  • Daftar grup kecil
  • Klein empat grup
  • Grup kuaternion
  • Grup dihedral
  • Grup dikiklik
  • Grup automorfisme
  • Grup poin

Aplikasi

• Tindakan grup
  • Kelas konjugasi
  • Automorfisme batin
  • Penutupan konjugasi
  • Subgrup stabilisator
  • Orbit (teori grup)
  • Teorema penstabil orbit
  • Teorema Cayley
  • Lemma Burnside
• Masalah Burnside
• Grup lingkaran
• Grup fundamental

Teori gelanggang

Artikel utama: Teori gelanggang

Umum

• Gelanggang (matematika)
• Aljabar komutatif, Gelanggang komutatif
• Teori gelanggang, Gelanggang nonkomutatif
• Aljabar medan
  • Aljabar non-asosiatif
• Kerabat dengan gelanggang: Semigelanggang, Gelanggang dekat, Rig (aljabar)

Struktur

• Subgelanggang, Subaljabar
  • Pusat (aljabar)
• Gelanggang ideal
  • Ideal pokok
  • Hasil bagi yang ideal
  • Ideal maksimal, ideal minimal
  • Ideal primitif, ideal prima, ideal semiprima
  • Radikal ideal
• Radikal Jacobson
• Socle gelanggang
• Satuan (teori gelanggang), Idempotensi, Nilpoten, Pembagi nol
• Karakteristik (aljabar)
• Homomorfisme gelanggang, Homomorfisme aljabar
  • Epimorfisme gelanggang
  • Monomorfisme gelanggang
  • Isomorfisme gelanggang
    • Teorema Skolem–Noether
• Aljabar bertingkat
• Kesetaraan Morita
  • Grup Brauer

Konstruksi

• Jumlah langsung gelanggang, Produk gelanggang
• Gelanggang hasil bagi
• Gelanggang matriks
• Gelanggang endomorfisme
• Gelanggang polinomial
• Deret pangkat formal
• Gelanggang monoid, Gelanggang grup
• Pelokalan gelanggang
• Tensor aljabar
  • Aljabar simetris, Aljabar eksterior, Aljabar Clifford
• Aljabar bebas
• Penyelesaian (teori gelanggang)

Jenis

• Bidang (matematika), Gelanggang pembagi, aljabar pembagi
• Gelanggang sederhana, Aljabar sederhana pusat, Gelanggang setengah sederhana, Aljabar setengah sederhana
• Gelanggang primitif, Gelanggang semi-primitif
• Gelanggang prima, Gelanggang semiprima, Gelanggang tereduksi
• Domain integral, Domain (teori gelanggang)
  • Bidang pecahan, Penutupan integral
  • Domain Euklides, Domain ideal utama, Domain faktorisasi unik, domain Dedekind, Prüfer domain
• Gelanggang beraturan Von Neumann
• Gelanggang Kuasi-Frobenius
• Galanggang keturunan, Cincin setengah-derititer
• Gelanggang lokal, Gelanggang semi-lokal
• Gelanggang penilaian diskrit
• Gelanggang lokal beraturan
• Gelanggang Cohen-Macaulay
• Gelanggang Gorenstein
• Gelanggang Artinian, Gelanggang Noetherian
• Dering sempurna, Gelanggang semisempurna
• Gelanggang Baer, Gelanggang Rickart
• Gelanggang Lie, Aljabar Lie
  • Ideal (aljabar Lie)
• Aljabar Yordania
• Aljabar diferensial
• Aljabar Banach

Contoh

• Bilangan rasional, Bilangan riil, Bilangan kompleks, Kuarter, Oktonion
  • Kuaternion Hurwitz
• Bilangan bulat Gaussian

Teorema dan Aplikasi

• Geometri aljabar
  • Nullstellensatz Hilbert
• Teorema basis Hilbert
• Teorema Hopkins-Levitzki
• Teorema ideal utama Krull
• Teorema Levitzky
• Teori Galois
  • Teorema Abel–Ruffini
• Teorema Artin-Wedderburn
• Teorema kepadatan Jacobson
• Teorema kecil Wedderburn
• Teorema Lasker–Noether

Teori medan

Artikel utama: Teori medan (matematika)

Konsep dasar

• Medan (matematika)
• Submedan (matematika)
  • Grup perkalian
    • Elemen primitif (teori medan)
• Ekstensi medan
  • Ekstensi aljabar
    • Bidang pemisah
    • Bidang tertutup aljabar
      • Elemen aljabar
      • Penutupan aljabar
  • Ekstensi yang dapat dipisahkan
    • Polinomial terpisah
  • Ekstensi normal
  • Ekstensi Galois
  • Ekstensi Abelian
  • Derajat transendensi
• Norma bidang
• Jejak lapangan
• Elemen konjugasi (teori medan)
• Tensor produk medan

Jenis

• Medan bilangan aljabar
• Medan global
• Medan lokal
• Medan terbatas
• Fungsi simetris
• Secara formal bidang nyata
• Medan tertutup riil

Aplikasi

• Teori Galois
  • Grup Galois
  • Masalah Galois invers
• Teori Kummer

Teori modul

Artikel utama: Modul (matematika)

Umum

• Modul (matematika)
• Bimodul
• Anihilator (teori gelanggang)

Struktur

• Submodul
  • Submodul murni
• Homomorfisme modul
  • Submodul penting
  • Submodul yang berlebihan
  • Submodul tunggal
• Socle modul
• Radikal modul

Konstruksi

• Modul gratis
• Modul Hasil Bagi
• Jumlah langsung, Produk langsung modul
• Limit langsung, Limit invers
• Pelokalan modul
• Penyelesaian (teori gelanggang)

Jenis

• Modul sederhana, Modul sederhana
• Modul tidak dapat diuraikan
• Modul Artinian, modul Noetherian
• Jenis homologis:
  • Modul projektif
    • Penutup projektif
    • Teorema Swan
    • Teorema Quillen–Suslin
  • Modul injektif
    • Injektif hull
  • Modul datar
    • Penutup datar
• Modul koheren
• Modul yang dihasilkan tak terbatas
• Modul sempurna
• Modul terkait terbatas
• Modul ringkas secara aljabar
• Modul refleksif

Konsep dan teorema

• Deret komposisi
  • Panjang modul
• Teorema struktur untuk modul yang dibuat tanpa batas melalui domain ideal utama
• Dimensi homologis
  • Dimensi proyektif
  • Dimensi injektif
  • Dimensi datar
  • Dimensi global
  • Dimensi global yang lemah
  • Dimensi kohomologis
• Dimensi krull
• Barisan beraturan (aljabar), kedalaman (aljabar)
• Lemma Fitting
• Lemma Schur
• Lemma Nakayama
• Teorema Krull–Schmidt
• Lemma pertukaran Steinitz
• Teorema Jordan–Hölder
• Artin–Rees lemma
• Lemma Schanuel
• Kesetaraan Morita
  • Progenerator

Teori wakilan

Artikel utama: Daftar topik teori wakilan

Teori waklian

• Waklian aljabar
• Wakilan grup
• Wakilan aljabar Lie
• Teorema Maschke
• Lemma Schur
• Peta ekuivarian
• Timbal balik Frobenius
  • Wakilan yang diinduksi
  • Wakilan terbatas
• Wakilan afin
• Wakilan projektif
• Teori wakilan modular
• Gemetar (matematika)
• Teori waklilan aljabar Hopf

Sistem non-asosiatif

Umum

• Sifat asosiatif, Asosiator
• Tumpukan (matematika)
• Magma (aljabar)
  • Gelung (aljabar), Kuasigrup
• Gelanggang non-asosiatif, Aljabar non-asosiatif
  • Aljabar menyampul universal
  • Aljabar Lie (lihat pula daftar topik grup Lie dan daftar topik teori wakilan)
  • Aljabar Yordania
  • Aljabar alternatif
  • Kekuatan asosiatif
  • Aljabar fleksibel

Contoh

• Konstruksi Cayley–Dickson
  • Oktonion
  • Sedenion
• Kuaternion hiperbolik
• Aljabar Virasoro

Umum

• Struktur aljabar
• Aljabar universal
  • Variasi (aljabar universal)
  • Hubungan kongruensi
  • Objek bebas
  • Himpunan pembangkit (aljabar universal)
  • Klon (aljabar)
• Kernel suatu fungsi
  • Kernel (aljabar)
  • Kelas isomorfisme
  • Teorema Isomorfisme
  • Teorema dasar tentang homomorfisme
• Sifat universal
• Filtrasi (matematika)
• Teori kategori
  • Kategori monoid
  • Grupoid
  • Objek grup
  • Koaljabar
  • Bialjabar
  • Aljabar Hopf
  • Objek magma
• Torsi (aljabar)

Aljabar komputer

Artikel utama: sistem aljabar komputer

• Matematika simbolik
  • Aritmetika bidang hingga
  • Basis Gröbner
  • Algoritma Buchberger

Lihat pula

• Daftar topik aljabar komutatif
• Daftar topik aljabar homologis
• Daftar topik aljabar linier
• Daftar struktur aljabar
• Glosarium teori medan
• Glosarium teori grup
• Glosarium teori gelanggang
• Daftar istilah teori tensor