Դիոֆանտյան հավասարում

Գտնելով ուղղանկյուն եռանկյան բոլոր կողմերը, կարող ենք լուծել հետևյալ Դիոֆանտյան հավասարումը՝ a² + b² = c²:

Մաթեմատիկայում Դիֆանտյան հավասարում, այնպիսի հավասարում է, որը պարունակում է սովորաբար երկու կամ ավելի անհայտ։ Ի տարբերություն սովորական գծային հավասարումների Դիոֆանտյան հավասարումների պահանջն է գտնել հավասարման այնպիսի լուծումներ, որոնք կպատկանեն ամբողջ թվերի բազմությանը։ Գծային դիֆանտանտային հավասարումը հիմնականում կազմվում է կամ զրոյական, կամ առաջին աստիճանի որոշակի միանդամների գումարից։ Ցուցչային Դիոֆանտյան հավասարումը մի այնպիսի հավասարում է, որում անհայտ կարող են հանդիսանալ նաև հավասարման ցուցիչները։

Դիոֆանտյան խնդիրներում հիմնականում տրված է լինում ավելի քիչ հավասարումներ, քան անհայտներն են և պահանջվում է գտնել այնպիսի լուծումներ, որոնք կբավարարեն բոլոր հավասարումների պահանջներին։

«Դիոֆանտյան» բառը կապված է 3-րդ դարի մաթեմատիկոս Դիոֆանտուսին, ով նմանատիպ հավասարումների ուսումնասիրություններ է կատարել և առաջին մաթեմատիկոսներից էր, ով սկսեց հանրահաշվում օգտագործել, որոշակի սիմվոլներ։ Մաթեմատիկայի այն ճյուղը, որը ուսումնասիրում է դիոֆանտյան հավասարումները, կոչվում է Դիոֆանտյան անալիզ։

Օրինակներ

Բերված Դիոֆանտյան հավասարումներում w, x, y, և z տառերը տրված են, որպես անհայտներ, իսկ մնացած տառերը հաստատուն են։

ax + by = 1	Գծային Դիոֆանտյան հավասարում։
w^3 + x^3 = y^3 + z^3	Տրված հավասարման լուծում կարող է հանդիսանալ հետևյալ դրական ամբողջ թիվը՝ 12^3 + 1^3 = 9^3 + 10^3 = 1729: Այն իհարկե ունի անվերջ քանակով լուծումներ[1]։
x^n + y^n = z^n	n = 2 լուծմանը (x,y,z) համապատասխանում են բոլոր Պյութագորեան եռյակները։ Իսկ n -ի ավելի մեծ արժեքների դեպքում որոշ լուծումներ կարելի է գտնել նաև Ֆերմայի վերջին թեորեմն օգտագործելով[2]։
x^2 − ny^2 = ±1	Վերջինս կոչվում է Պելլի հավասարում, որը կոչվել է ի պատիվ անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոն Պելի։ Ուսումնասիրվել է Բրահմագուպտայի (7-րդ դարում) և Ֆերմայի (17-րդ դարում) կողմից։
4n = 1x + 1y + 1z	Էրդոս-Ստրաուսի հավասարումը պնդում է, որ բոլոր դրական ամբողջ թվերը, որոնց համար n ≥ 2, գոյություն ունի x, y, և z, ցանկացած լուծում։ Չնայած, որ հավասարումը հիմնականում չի հանդիպում բազմանդամի տեսքով, սակայն վերը նշված հավասարումը ապացուցում է, որ այդպիսիք գոյություն ունեն՝ 4xyz = yzn + xzn + xyn = n(yz + xz + xy):
x^4 + y^4 + z^4 = w^4	Ըստ Էյլերի տրված հավասարումն ունի մի շարք զրոյական լուծումներ։ Այս պնդումն ապացուցվել Էլկիեսի կողմից։ Հավասարման ամենափոքր լուծումը գտնվել է օգտագործելով համակարգչային ծրագրեր[3]։

Գծային Դիոֆանտյան հավասարումներ

Մեկ հավասարում

Պարզագույն Դիոֆանտյան հավասարումէ հանդիսանում հետևյալը՝ ax + by = c, որտեղ a, b և c տրված ամբողջ թվեր են։ Լուծումները բնութագրվում են հետևյալ թեորեմով՝

Այս Դիոֆանտյան հավասարումը ունի լուծում (որտեղ x և y տրված ամբողջ թվեր են) եթե միայն c թիվը հանդիսանում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար a և b թվերի համար, ավելին եթե (x, y) թվազույգը կարող է հանդիսանալ հավասարման լուծում, ապա հավասարման մյուս լուծումը ունի հետևյալ կազմությունը՝ (x + kv, y − ku), որտեղ k թիվը կամայական թիվ է, իսկ u և v թվերը քանորդ են հանդիսանում a և b թվերի(համապատասխանաբար) համար։

Չինական մնացորդի թեորեմ

Չինական մնացորդի թեորեմը ներկայացնում է մի շատ կարևոր դաս, որը բնութագրում է Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգը։ Դիցուք՝ n₁, …, n_k թվերը և k փոխադարձաբար պարզ են և մեծ են մեկից, իսկ a₁, …, a_k թվերը k քանորդ, N թիվը հանդիսանա արտադրյալ n₁ ··· n_k. թվերի համար, ապա ըստ թեորեմի հավասարման լուծումների միջակայքը կպատկանի 0 ≤ x < N, ընդ որում՝

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}}$

Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր

Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր կարելի է լուծել օգտվելով մատրիքսներից։ Օգտագործելով մատրիքսի գրառման ձևը համակարգում գտնվող յուրաքանչյուր հավասարման համար, կստանանք հետևյալը՝

A X = C,

որտեղ A -ն m × n չափի մատրիքս է, իսկ X-ը և C-ն ունեն համապատասխանաբար հետևյալ չափերը՝ n × 1 և m × 1:

Վերը նշված հավասարումից բացի հաճախ օգտագործվում է նաև այս հավասարումը՝

B = [b_i,j] = UAV

Որտեղ b_i,i հավասար չէ զրոյի, իսկ i թիվը մեծ չէ k-ից։ Բանաձևի մնացած բոլոր անդամները կարող են լինել զրոներ։ Հավասարումը երբեմն ներկայացվում է նաև այսպես՝

B (V⁻¹X) = UC.

ընդ որում՝

b_i,i y_i = d_i for 1 ≤ i ≤ k,

0 y_i = d_i for k < i ≤ n:

Գրվածը համարժեք է հետևյալին. Տրված սյունակային մատրիքսը լուծում ունի որոշ x դրական ամբողջ թվերի համար, եթե միայն x = Vy հավասարումը որոշված է այնպիսի y-ի համար, որ By = D:

Եթե բանաձևում տեղադրենք տրված փոփոխականի այնպիսի արժեքներ, ինչպիսիք են՝ i ≤ k և d_i = 0 for i > k, ապա մատրիքսը կունեա հետևյալ տեսքը՝

${\displaystyle V\,\left[{\begin{array}{c}{\frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d_{k}}{b_{k,k}}}\\h_{k+1}\\\vdots \\h_{n}\end{array}}\right]\,,}$

որտեղ h_k+1, ..., h_n կամայական ամբողջ թվեր են։

Ծանոթագրություններ

1. Everest, G.; Ward, Thomas (2006), An Introduction to Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 232, Springer, էջ 117, ISBN 9781846280443.
2. Wiles, Andrew (1995). «Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem» (PDF). Annals of Mathematics. Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2011 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2017 թ․ հոկտեմբերի 15-ին.
3. Noam Elkies (1988). «On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴». Mathematics of Computation. 51 (184): 825–835. doi:10.2307/2008781. JSTOR 2008781. MR 0930224.

Արտաքին հղումներ

• Diophantine Equation. From MathWorld at Wolfram Research.
• Diophantine Equation Արխիվացված 2016-03-08 Wayback Machine. From PlanetMath.
• Dario Alpern's Online Calculator. Retrieved 18 March 2009

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 397)։