PROFILBARU.COM

A matematika, azon belül a gráfelmélet területén a teljes színezés (complete coloring) a harmonikus színezés ellentéte, abban az értelemben, hogy olyan jó csúcsszínezés, melyben minden színpár előfordul legalább egy szomszédos csúcspáron. A teljes színezés abban az értelemben minimális, hogy színosztály-párok összeolvasztásával nem alakítható át kevesebb színnel történő jó színezéssé. A G gráf akromatikus száma, ψ(G) a maximális színek száma, mellyel elvégezhető G teljes színezése.

Bonyolultságelmélet

A ψ(G) értékének megállapítása egy optimalizálási probléma. A teljes színezés döntési problémája a következőképpen mondható ki:

BEMENET: egy

G=(V,E)

gráf és a

k

pozitív egész

KÉRDÉS: létezik-e

V

-nek

k

vagy több diszjunkt

V_{1},V_{2},\ldots ,V_{k}

halmazokra való particionálása úgy, hogy minden

V_{i}

a

G

-nek egy független csúcshalmaza és egyik

V_{i},V_{j},V_{i}\cup V_{j}

halmazpár sem alkot független csúcshalmazt.

Az akromatikus szám meghatározása NP-nehéz; annak meghatározása, hogy adott számnál nagyobb-e, NP-teljes, ahogy azt Yannakakis és Gavril 1978-ban megmutatták a minimális értékű maximális párosítás problémájából való transzformációval.^[1]

Egy gráf minimális számú színnel való színezése mindenképpen teljes színezés, így egy teljes színezés színeinek minimalizálása csak a szokásos gráfszínezési probléma újrafogalmazása.

Algoritmusok

Rögzített k-ra lineáris időben megállapítható, hogy adott gráf akromatikus száma legalább k-e.^[2]

Az optimalizálási probléma lehetővé teszi a közelítést, és $O\left(|V|/{\sqrt {\log |V|}}\right)$ approximációs aránnyal közelíthető.^[3]

Speciális gráfosztályok

Az akromatikus szám problémájának NP-teljessége még néhány speciális gráfosztályra igaz, ezek közé tartoznak: a páros gráfok,^[2] a páros gráfok komplementerei (tehát a két csúcsnál nagyobb független halmazzal nem rendelkező gráfok),^[1] a kográfok és az intervallumgráfok,^[4] és még a fák is.^[5]

Fák komplementereinek akromatikus száma polinom időben kiszámítható.^[6] Fák esetében konstans faktorral approximálható.^[3]

Ismert, hogy az n dimenziós hiperkockagráf akromatikus száma ${\sqrt {n2^{n}}}$ -nel arányos, de az arány konstans tagja precízen nem ismert.^[7]

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Complete coloring című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

↑ ^a ^b Michael R. Garey and David S. Johnson (1979), Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W.H. Freeman, ISBN 0-7167-1045-5 A1.1: GT5, pg.191.
↑ ^a ^b Farber, M.; Hahn, G. & Hell, P. et al. (1986), "Concerning the achromatic number of graphs", Journal of Combinatorial Theory, Series B 40 (1): 21–39, DOI 10.1016/0095-8956(86)90062-6.
↑ ^a ^b Chaudhary, Amitabh & Vishwanathan, Sundar (2001), "Approximation algorithms for the achromatic number", Journal of Algorithms 41 (2): 404–416, DOI 10.1006/jagm.2001.1192.
↑ Bodlaender, H. (1989), "Achromatic number is NP-complete for cographs and interval graphs", Inform. Proc. Lett. 31 (3): 135–138, DOI 10.1016/0020-0190(89)90221-4.
↑ Manlove, D. & McDiarmid, C. (1995), "The complexity of harmonious coloring for trees", Discrete Applied Mathematics 57 (2-3): 133–144, DOI 10.1016/0166-218X(94)00100-R.
↑ Yannakakis, M. & Gavril, F. (1980), "Edge dominating sets in graphs", SIAM Journal on Applied Mathematics 38 (3): 364–372, DOI 10.1137/0138030.
↑ Roichman, Y. (2000), "On the Achromatic Number of Hypercubes", Journal of Combinatorial Theory, Series B 79 (2): 177–182, DOI 10.1006/jctb.2000.1955.