A halmazelméletben a számosság fogalma a „halmazok elemszámának” az általánosítása a véges (azaz véges számosságú) halmazokról a végtelen (azaz végtelen számosságú) halmazokra. Véges halmazok esetében a számosság megegyezik tehát a halmaz elemeinek a számával, amely természetes szám, beleértve a nullát is, s ez az üres halmaz elemszámának felel meg. A halmazok számosságának a jelölésére is ugyanazt a jelölést használjuk, mint a véges halmazok esetén a halmazok elemszámának a jelölésére, azaz tetszőleges halmaz számosságának vagy kardinális számának a jele: .
Számosságok relációi
Egyenlőség
Legyen két tetszőleges halmaz. Akkor mondjuk, hogy az és halmazok ekvivalensek (vagy más szóval egyenlő számosságúak), ha létezik bijektív leképezés.
Megjegyzés: A halmazok ekvivalenciája halmazok tetszés szerinti halmazában ekvivalenciareláció.
Kisebb-nagyobb reláció
Legyen két tetszőleges halmaz. Akkor mondjuk, hogy , ha létezik injektív leképezés, ami minden eleméhez más-más elemét rendeli, azaz ekvivalens egy részhalmazával.
Ha létezik ilyen injektív leképezés, de -vel magával már nem ekvivalens, azaz nincs megfelelő bijektív leképezés, akkor számossága nagyobb, mint számossága. Jele: .
Cantor-Bernstein-tétel
Belátható a következő (végtelen halmazok esetében nem triviális) tétel:
Azaz, ha létezik olyan függvény, ami az halmaz elemeihez a halmaz különböző elemeit rendeli, és egy függvény, ami elemeihez különböző elemeit rendeli, akkor létezik olyan függvény is, mely és elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít.
A tétel szemléletesen értelmezve azt jelenti, hogy a halmazok számosságai a rendezési (kisebb-nagyobb) relációjukra nézve láncot alkotnak (a számosságok rendezése trichotom jellegű), azaz ha a és b halmazok (nem feltétlenül finit) elemszámai, akkor az a<b, a=b és a>b lehetőségek közül pontosan egy teljesül.
Azt mondjuk, hogy egy halmaz véges, ha nem létezik olyan valódi részhalmaza, amellyel ekvivalens.
Megjegyzés. A véges halmazok fenti definíciója ekvivalens a következő, a természetes szám fogalmát is használó definícióval: Tetszőleges halmazt véges halmaznak nevezünk, ha valamely természetes számra létezik bijekció, beleértve az üres halmazt is esetén.
Azt mondjuk, hogy a halmaz megszámlálhatóan végtelen, ha létezik bijekció, ahol a természetes számok halmaza.
Jelölés
A természetes számok halmaza, illetve a megszámlálhatóan végtelen halmazok számosságát Georg Cantor után szokásosan (ejtsd: alef null, ahol az alef karakter a héber ábécé első betűje) jelöli. Ez a legkisebb végtelen számosság (ezért is a nulla alsó index).
Következmények
A természetes számokkal való bijekció pont azt jelenti, hogy ezek a halmazok sorba rendezhetőek. (Hiszen minden halmazbeli elemhez egy-egy értelmű megfeleltetéssel egy sorszámot rendelünk.)
A halmazelmélet szokásos felépítésében, a ZFC-axiómarendszer esetén igaz az az állítás, hogy tetszőleges végtelen halmaznak van számosságú részhalmaza. Más axiómarendszerekben ez nem feltétlenül teljesül (például az ún. ZFU-ban).[1]
Példák
A természetes számok halmaza () megszámlálhatóan végtelen sok elemű, hiszen a természetes számok egy-egy értelműen megfeleltethetők a természetes számoknak: minden egyes természetes számhoz hozzárendeljük önmagát mint sorszámot.
Az egész számok halmaza () megszámlálható, mivel számossága egyenlő a természetes számok számosságával. Ezt könnyű belátni, hiszen legyen a leképező függvényünk a következő:
Azaz minden nemnegatív számhoz rendeljük a páros számokat és minden negatívhoz a páratlanokat. Ez egy jó példa arra, hogy végtelen halmazok esetében lehetséges, hogy egy halmaz és annak egy valódi részhalmaza egyenlő számosságú.
A racionális számok halmaza () megszámlálhatóan végtelen. Ugyanis minden pozitív racionális szám egyértelműen felírható alakban, ahol p és q pozitív egész számok relatív prímek. A (p, q) számpárt értelmezhetjük úgy, mint egy P pont koordinátáját a síkon. Minden ilyen P egy egész koordinátájú rácspontra esik. Az egész koordinátájú rácspontokat viszont az alábbi ábrán látható lila út mentén a balfelső sarokból kezdve sorra fel lehet keresni visszatérés nélkül, így a P pontok is sorba rendezhetők a bejárási út mentén, sorrendjük szerint pedig egyértelműen megfeleltethetők a természetes számoknak.
Hasonlóan belátható, hogy a negatív racionális számok is megszámlálhatóan végtelen sokan vannak. A pozitív és a negatív racionális számok együtt is megszámlálhatóan végtelen sokan vannak, mivel össze tudjuk őket fésülni az egész számok példájában látott leképezéssel. Már csak a 0 maradt ki: tegyük a nullát a számlálásunk legelejére, az 1. pozícióba, a többi racionális szám megszámlálását pedig ismételjük meg a fenti módon, csak éppen a 2. sorszámtól!
Néhány idekapcsolódó egyszerű tétel bizonyítás nélkül
Ha A megszámlálható és a tőle diszjunktB halmaz véges, akkor is megszámlálható.
A diszjunkt A és B halmazok egyesítésének s számossága csak A és B számosságától függ, vagyis ha A és B helyére a velük egyenlő számosságú A’, illetve B’ halmazokat tesszük úgy, hogy A’ és B’ diszjunktak, akkor utóbbiak egyesítésének a számossága is s lesz.
Ha véges sok (mondjuk k darab) diszjunkt Ai halmazunk van és mindegyik megszámlálható, akkor is megszámlálható.
Megszámlálható sok diszjunkt Ai halmazunk van és mindegyik megszámlálható, akkor az egyesítésük, vagyis halmaz is megszámlálható.
összes véges részhalmazainak a halmaza is megszámlálható.
Kontinuum halmaz
Azt mondjuk, hogy a halmaz kontinuum számosságú, ha létezik bijekció, ahol a valós számok halmaza.
Jelölés
A kontinuum számosságot Cantor-vel (gót c) jelölte.
Példa
A „legegyszerűbb” ilyen halmaz a [0,1] zárt intervallumba tartozó valós számok halmaza. Ennek számossága kontinuum. Lássuk ezt be!
Ez a számosság legalább megszámlálhatóan végtelen (hisz tartalmazza például a nyilvánvalóan megszámlálhatóan végtelen részhalmazt). Indirekt tegyük fel, hogy megszámlálhatóan végtelen, vagyis elemeit valamilyen (v1, v2, …) sorrendbe rendezhetjük.
Minden ilyen vi egy 0 és 1 közötti valós szám, felírható tehát végtelen tizedes törtként 0,vi1vi2vi3… alakban. (Ez a felírás nem egyértelmű, pl.: 0,5000 = 0,49999…. Ezért most az egyértelműség kedvéért zárjuk ki azt a felírási módot, ahol egy idő után csupa kilences következik.) Az indirekt feltevés szerint tehát a
0,v11v12v13…
0,v21v22v23…
0,v31v32v33…
…
sorozat minden elemét tartalmazná. A táblázat „átlója” mentén végighaladva készítsünk egy olyan w valós számot, melynek w=0,w1w2w3… tizedestört alakjához úgy jutunk, hogy ha vii = 1 volt, akkor legyen wi = 2, ha pedig vii ≠ 1 volt, akkor legyen wi = 1. Ez a w szám biztos nem szerepelhetett a fenti táblázatban, hisz bármely j-re elmondható, hogy vj szám j-edik tizedesjegye különbözik a w szám j-edik tizedesjegyétől. Mivel így nem minden 0 és 1 közötti valós szám szerepel a felsorolásban, ellentmondásra jutunk, tehát nem lehet megszámlálható.
Néhány idekapcsolódó egyszerű tétel bizonyítás nélkül
Legyen A egy véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz, B pedig egy tőle diszjunkt, kontinuum számosságú halmaz. Ekkor .
Megszámlálhatóan végtelen halmaz hatványhalmaza épp kontinuum számosságú.
Megjegyzés
Struktúra számosságán a struktúra alaphalmazának számosságát értjük.[2]