Számlálómérték

A számlálómérték a matematikai mértékek egyike. Általában véges halmazokon szokás értelmezni, ilyen módon a halmazfüggvények bevezető tárgyalására is alkalmas.

Definíció

Legyen ${\displaystyle X}$ mérhető véges halmaz, és ${\displaystyle \Sigma }$ egy σ-algebra a részhalmazaiból. Ekkor a számlálómérték értelmezése:

${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {R} ,\,S\mapsto |S|.}$

A definíció természetesen terjeszthető ki nem véges halmazokra is a valós számok kibővített halmazán.^[1] Ekkor ${\displaystyle X}$-től elegendő a mérhetőséget megkövetelni. A számlálómérték definíciója ekkor:

${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {R} _{b},S\mapsto {\begin{cases}|S|,&{\text{ha }}S{\text{ véges}}\\\infty ,&{\text{egyébként}}\end{cases}}}$

Példák

• Az egész számok halmazán értelmezhetjük a részhalmazok elemszámát. Ez számlálómérték lesz a definíció szerint.
• A rácssokszögek esetén számlálómérték a sokszög belsejében és határán található rácspontok számát megadó függvény.^[2]

Jegyzetek

1. Azaz a valós számokhoz hozzáveszünk két szimbólumot, amiket pozitív és negatív végtelennek nevezünk.
2. Ebből pedig a sokszög területe is kiszámítható, tehát átvezet a területmérés problémakörébe, ami a mértékelmélet alapját jelenti.

Források

• Halmos Pál: Mértékelmélet (reprint), TypoTeX kiadó, 2010, ISBN 978-963-2791-43-2
• Kristóf János: Az analízis elemei (egyetemi jegyzet)
• Vancsó Ödön, Gerő László: Matematika, Akadémiai kiadó, 2012, ISBN 9789630584883
• Egy rövidke írás a PlanetMath oldalon