Rolle-féle gyöktétel

Nem tévesztendő össze a következővel: Rolle-tétel.

A Rolle-féle gyöktétel^[1] egy adott egész együtthatós polinom gyökeire vonatkozó szükséges, de nem elégséges kritérium. Az

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0\,\!}$

egész együtthatós egyenlet (az ${\displaystyle a_{n}}$ együttható nem nulla) minden x=p/q racionális megoldására (ahol p és q relatív prím egészek, ${\displaystyle q\neq 0}$) teljesül, hogy:

• p olyan egész, amely osztója a₀-nak, és
• q olyan egész, amely osztója a_n-nek.

A tétel a Gauss-lemma speciális esete.

Alkalmazása

A tétel felhasználható arra, hogy eldöntsük, vannak-e a polinomnak racionális gyökei, és ha vannak, akkor meg is találhatjuk őket. A tétel leszűkíti a lehetséges jelöltek körét, ezeket visszahelyettesítve megtudjuk, hogy melyek valóban gyökök. Ha megtaláltuk, akkor a polinomot felírhatjuk a racionális gyökök alapján kapott tényezők és egy alacsonyabb fokú polinom szorzataként, amelynek már csak irracionális gyökei vannak. Általában, ha egy n-edfokú polinomnak k racionális gyöke adódik, akkor a csak irracionális gyökökkel bíró tényező n − k-adfokú lesz, és ezek a gyökök az eredeti polinom gyökei. Hogyha egy jelölt sem gyök, akkor a polinomnak nincs racionális gyöke. Ha nincs konstans tag, akkor ki lehet emelni egy tényezőt, és az így kapott polinomot vizsgálni; az eredeti polinom egyik gyöke a nulla.

Ha a polinom harmadfokú, akkor három eset lehetséges:

• Ha nincsenek racionális gyökök, akkor a gyöktételből csak azt tudjuk, hogy a gyökök nem racionálisak. Próbálhatunk a derivált segítségével és az euklideszi algoritmus felhasználásával négyzetmentes tényezőt kiemelni, vagy megtalálhatjuk a gyököket a megoldóképlettel.
• Ha egy racionális gyök van, akkor kiemelhetünk egy elsőfokú tényezőt, a maradék másodfokú polinomot pedig másodfokú megoldóképlettel oldhatjuk meg.
• Ha az összes gyök racionális, akkor a polinom összes gyökét megtaláltuk, és felírhatjuk szorzat alakban. További számításokra nincs szükség.

Példák

Első

A ${\displaystyle 2x^{3}+x-1}$ polinom esetén a szóba jöhető racionális gyökök azok, amelyeknek a számlálója osztója az 1-nek, nevezője pedig osztója a 2-nek. Innen a jelöltek ±1/2 és ±1, de ezek egyike sem gyök, úgyhogy ennek a polinomnak nincs racionális gyöke.

Második

Az ${\displaystyle x^{3}-7x+6}$ polinom esetén a jelöltek azok, amelyeknek a számlálója 6 osztója, nevezője pedig 1 osztója. Innen a jelöltek ±1, ±2, ±3 és ±6, ezek közül 1, 2 és –3 gyökök. Mivel a polinom harmadfokú, ezért az algebra alaptétele szerint az összes gyököt megtaláltuk.

Harmadik

A ${\displaystyle 3x^{3}-5x^{2}+5x-2\,\!}$ harmadfokú polinom racionális gyökei az ${\displaystyle \pm {\frac {1,2}{1,3}}\,,}$ szimbolikus hányadossal jelölhető, ami azt jelenti, hogy a jelöltek ${\displaystyle \pm \left\{1,2,{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right\}.}$

Visszahelyettesítve például a Horner-elrendezéssel egyszerre akár több gyök is kizárható.^[2] Például, ha x = 1, akkor a polinomba visszahelyettesítve az eredmény 1. Ez azt jelenti, hogy a x = 1 + t helyettesítéssel egy olyan polinomot kapunk, aminek konstans tagja 1, főegyütthatója pedig ugyanaz, mint az eredetié. Alkalmazva a tételt, kapjuk, hogy a jelöltek t-re ${\displaystyle t=\pm {\frac {1}{1,3}}.}$ Tehát ${\displaystyle x=1+t=2,0,{\frac {4}{3}},{\frac {2}{3}}.}$ kizárhatók azok a jelöltek, amelyek nem szerepelnek mindkét listán. Így x = 2 és x = 2/3 marad.

Bizonyítás

Elemi bizonyítás

Legyen ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$ úgy, hogy ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {Z} }$ és legyen ${\displaystyle P(p/q)=0}$, ahol ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ relatív prímek és ${\displaystyle q\neq 0}$. Ekkor:

${\displaystyle P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.}$

Mindkét oldalt ${\displaystyle q^{n}}$-nel szorozva, átrendezés után kapjuk, hogy:

${\displaystyle \qquad p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}.}$

Így levonhatjuk a következtetést, hogy ${\displaystyle p}$ osztja ${\displaystyle a_{0}}$-t.

Hasonlóan kaphatjuk, hogy:

${\displaystyle \qquad q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}.}$

Ebből pedig az következik, hogy ${\displaystyle q}$ osztja ${\displaystyle a_{n}}$-et.^[3]

Bizonyítás a Gauss-lemmával

Ha a polinom nem primitív polinom vagyis létezik egységtől különböző egész, amely osztja a polinom minden együtthatóját, akkor a polinom együtthatóinak legnagyobb közös osztójával elosztjuk a polinomot, és így egy primitív polinomot kapunk. A Gauss-lemma szerint ha egy polinom faktorizálható ${\displaystyle \mathbb {Q} [X]}$-ben akkor szintén faktorizálható ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$-ben is mint primitív polinomok szorzata. Ekkor bármely racionális ${\displaystyle p/q}$ (${\displaystyle q{\text{ és }}p}$ relatív prímek) alakú gyöknek megfelel egy elsőfokú faktor ${\displaystyle \mathbb {Q} [X]}$-ben, ennek a faktornak a primitív reprezentációja ${\displaystyle qx-p}$. De ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$-ben ${\displaystyle qx-p}$ bármely (nem nulla) többszörösének főegyütthatója így osztható ${\displaystyle q}$-val a konstans együttható pedig így osztható lesz ${\displaystyle p}$-vel.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rational root theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

1. Archivált másolat. [2014. augusztus 22-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2014. augusztus 20.)
2. King, Jeremy D. (2006. november 1.). „Integer roots of polynomials”. Mathematical Gazette 90, 455–456. o. 
3. D. Arnold, G. Arnold. Four unit mathematics. Edward Arnold, 120–121. o. (1993). ISBN 0-340-54335-3 

• Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, ISBN 0-673-38638-4, pp. 216–221
• Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications 1998, ISBN 0-486-25563-8, pp. 116–117 (online copy, p. 116, a Google Könyvekben)
• Ron Larson: Calculus: An Applied Approach. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2, pp. 23–24 (online copy, p. 23, a Google Könyvekben)